§ 2.12. Полнота и непрерывность множества действительных чисел

В предыдущих параграфах мы доказали ряд свойств действительных чисел, важнейшие из которых мы перечисляем:

1) Существование предела у ограниченной монотонной последовательности (§ 2.5, теорема 1).

2) Принцип вложенных отрезков (§ 2.7, теорема 1).

3) Существование точной верхней грани у произвольного ограниченного множества (§ 2.8, теорема 1).

4) Сходимость фундаментальной последовательности к пределу (критерий Коши, § 2.11, теорема 1).

Хотя перечисленные свойства и выглядят различно, на самом деле между ними имеется глубокая внутренняя связь. Не так уж трудно показать, что утверждения 1) – 4) (при наличии свойств I – IV числа) эквивалентны между собой, т. е. из любого из них следуют три остальные. В этой книге было показано, что из 1) (или, что все равно, свойства V, см. § 1.6) и свойств I – IV следуют 2), 3), 4).

Свойства 1) – 4) называются еще свойствами непрерывности или полноты множества всех действительных чисел.

Чтобы уяснить их роль, рассмотрим множество только рациональных чисел, которое обозначим через .

Свойства I – IV для рациональных чисел выполняются. Однако, свойство V и, следовательно, любое из свойств 1) – 4) для рациональных чисел, вообще говоря, не выполняются.

Поясним это на примере. Для этого нам будет удобно оперировать также и множеством всех действительных чисел, которое обозначим через  .

Зададим бесконечную непериодическую десятичную дробь

.

Таким образом,  - иррациональное число, т. е. , но . Дробь  порождает последовательность срезок

- рациональных чисел, - не убывающую  и ограниченную сверху целым числом . Не существует рационального числа, к которому наша последовательность рациональных чисел   сходится. В самом деле, мы знаем, что переменная  сходится к  (см. пример 9            § 2.1), т. е. к иррациональному числу, а к другому числу она сходиться не может.

Мы показали, что свойство 1) в , вообще говоря, не выполняется.

Нетрудно показать, что свойства 2), 3), 4) в , вообще говоря, не выполняются.

Множество действительных чисел называется полным в силу того, что для него выполняется свойство 4), заключающееся в том, что любая фундаментальная последовательность чисел сходится к некоторому действительному числу.

Множество  рациональных чисел не является полным. Оно содержит фундаментальные последовательности, не сходящиеся к рациональным числам. Добавляя к  иррациональные числа, мы получаем пространство действительных чисел, уже полное.