Глава 3. Функция. Предел функции

§ 3.1. Функция

3.1.1. Функция от одной переменной.

Пусть  - множество чисел и пусть в силу некоторого вполне определенного закона каждому числу  из  приведено в соответствие  (одно) число , тогда говорят, что на   задана функция, которую записывают так:

.                                  (1)

Говорят еще, что  есть функция одной переменной , заданная на , потому что можно, как мы увидим ниже, рассматривать функции многих переменных. Это определение функции предложено Н. И. Лобачевским и Дирихле). Множество  называют областью задания или определения функции  . Говорят также, что задана независимая переменная , которая может принимать частные значения  из множества , и каждому  в силу упомянутого закона приведено в соответствие определенное значение (число)  другой переменной  , называемой функцией или зависимой переменной. Независимую переменную называют аргументом.

Для выражения понятия функции употребляют геометрический язык. Говорят, что задано множество   точек  действительной прямой – область определения или задания функции – и закон, в силу которого каждой точке  приводится в соответствие число .

Если мы хотим говорить о функции как о некотором законе, приводящем в соответствие каждому числу   некоторое число , то достаточно ее обозначить одной буквой . Символ  обозначает число , которое в силу закона ,  соответствует значению .  Если, например, число 1 принадлежит области   задания функции , то  есть значение функции  в точке . Если 1 не принадлежит  , то говорят, что функция   не определена в точке  .

Множество  всех значений  , где  , называется образом множества  при помощи функции . Иногда пишут в таком случае . Но это обозначение надо употреблять с осторожностью, по возможности разъясняя его всякий раз, когда оно употребляется, чтобы не было путаницы с обозначением  , где  есть произвольная точка (число), принадлежащая множеству , а  - соответствующая ей при помощи функции (закона ) точка множества . Говорят еще, что функция  отображает множество  на множество .

Если образ  , где  - множество чисел, вообще не совпадающее с , то говорят, что функция отображает  в  .

Для функций  и , заданных на одном и том же множестве , определяется сумма , разность , произведение , частное . Это новые функции, значения которых выражаются соответствующими формулами

,                  (2)

где в случае частного предполагается, что  на .

Для обозначения функции употребляют и любые другие буквы: , так же как вместо ,  можно писать .

Если функция   отображает множество  в , а  функция  отображает множество  в множество , то функцию  называют функцией от функции, или сложной функцией, или суперпозицией  и . Она определена на множестве  и отображает  в .

Возможна сложная функция, в образовании которой участвует  функций: .

Практика доставляет нам много примеров функций. Например, площадь  круга есть функция его радиуса , выражаемая формулой . Эта функция определена, очевидно, на множестве всех положительных чисел  .

Можно, не связывая вопрос с площадью круга, говорить о зависимости между переменными  и , выраженной формулой  . Функция , заданная этой формулой, определена на всей действительной оси, т. е. для всех действительных чисел , не обязательно только положительных.

Ниже приводятся примеры функций, заданных формулами:

Мы имеем в виду действительные функции, принимающие действительные значения  для действительных значений аргумента . Нетрудно видеть, что областями определения приведенных функций являются соответственно:

1) отрезок ;

2) множество ;

3) вся действительная ось;

4) вся действительная ось, из которой исключена точка  ;

5) отрезок .

Функции, определяемые в примерах 1) и 2), можно рассматривать как функции от функции:  ;   .

Важным средством задания функции является график. Зададим прямоугольную систему координат ,  (рис. 11), на  оси  отметим отрезок  и изобразим любую кривую , обладающую следующим свойством: какова бы ни была точка , прямая, проходящая через нее параллельно оси , пересекает кривую  в одной точке . Такую заданную в прямоугольной (декартовой) системе координат кривую  мы будем называть графиком.

Рис. 11

 

График определяет функцию   на отрезке  следующим образом. Если  есть произвольная точка отрезка , то соответствующее значение  определяется как ордината точки  (см. рис. 11). Следовательно, при помощи графика дается вполне определенный закон соответствия между  и  .

Мы задали функцию при помощи графика на множестве , являющемся отрезком . В других случаях  может быть интервалом, полуинтервалом, всей действительной осью, множеством рациональных точек, принадлежащих к данному интервалу и т. д.

Зададим на некотором интервале  функцию  и произвольное (постоянное) число . С помощью  и  можно сконструировать ряд функций: 1) ; 2) ;  3)  ;  4)  .  Функции 1) и 2) определены на том же интервале . Ординаты графика функции 1) увеличены в  раз сравнительно с соответствующими ординатами  . График функции 2) получается из графика  поднятием последнего на величину , если , и опусканием на , если ; график же функции 3) получается из графика   путем сдвига последнего вправо на величину , если , и влево на , если . Наконец, функция 4) при  определена, очевидно, на интервале ;  график ее получается из графика   путем равномерного его сжатия в  раз.

Функцию  называют четной или нечетной, если она определена на множестве, симметричном относительно нулевой точки, и обладает на нем свойством  или свойством .

График четной функции, очевидно, симметричен относительно оси , а график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например,  (- натуральное), , , ,  - четные функции, а  (- целое), , ,  - нечетные функции.

Нетрудно увидеть, что произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной функции на нечетную есть нечетная функция.

Конечно, большинство функций не четны и не нечетны.

График функции , , можно определить еще как совокупность точек  с абсциссой  и ординатой , где .

Функция  называется строго возрастающей или возрастающей (неубывающей)  на , если для любых , для которых , имеет место  .

Функция  называется строго убывающей или убывающей (невозрастающей)            на , если для любых , для которых , имеет место  .

Функция  называется ограниченной (неограниченной) на , если ее образ  есть ограниченное (неограниченное) множество.

Например, функция  убывает и не ограничена на , но ограничена на .

Функция , определенная на всей вещественной оси, называется периодической с периодом , если .

Можно говорить также о функции, периодической с периодом  на интервале  (сегменте ), если равенство

верно для всех таких   (или  ), для которых  .

Например, функция  периода . Функция , где , тоже периода , но она также имеет меньший период  .

П р и м е р  6. Функция (сигнум  или знак )

 

задана на бесконечном интервале . Она нечетная. Образ ее есть множество, состоящее из трех точек .

П р и м е р  7.  Функция

имеет график, изображенный на рис. 12.

Рис. 12

Она убывает на  и имеет период  на  . Эта функция на различных частях области ее определения задана различными формулами.

Функция может быть задана в виде таблицы. Например, мы могли бы измерять температуру  воздуха через каждый час. Тогда каждому моменту времени ,  соответствовало бы определенное число   в виде таблицы:

	0	1	…	24
			…

Таким образом, мы получили бы функцию , определенную на множестве целых чисел от 0 до 24, заданную таблицей.

Если функция  задана на некотором множестве  формулой, то всегда можно считать, что ей соответствует вполне определенный график, определяющий геометрически эту функцию. Обратное совсем не ясно: если функция задана произвольным графиком, то может ли она быть выражена некоторой формулой? Это очень сложный вопрос. Чтобы ответить на него, надо отдать себе отчет в том, какой смысл мы вкладываем в слово формула. Выше, когда мы говорили, что данная функция  выражается формулой, мы молчаливо считали, что при этом  получается из   при помощи конечного числа таких операций, как сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корня той или иной степени, логарифмирование, взятие операции , ,  и других алгебраических и тригонометрических операций.

Математический анализ дает средства для значительного расширения понятия формулы. Весьма важным таким средством является разложение функции в бесконечный ряд по элементарным функциям.

Многие, а может быть и все, встречающиеся на практике функции могут быть изображены формулой, представляющей собой некоторый бесконечный ряд, членами которого являются элементарные функции, которые будут определены ниже. Но сейчас об этом говорить не время. Мы еще не готовы к этому.

Так или иначе, задана ли функция  формулой или же другим каким-либо способом, например при помощи графика, она уже может служить объектом изучения средствами математического анализа, если она удовлетворяет некоторым дополнительным общим свойствам, таким, как непрерывность, монотонность, выпуклость, дифференцируемость и др. Но об этом будет идти речь впереди.

Важнейшим средством изучения функции является понятие предела, являющееся основным понятием математического анализа. Данная глава посвящена этому понятию.

Если каждому числу , принадлежащему данному множеству  чисел, в силу некоторого закона, соответствует определенное множество  чисел , то говорят, что этим законом определена многозначная функция . Если  окажется, что  для каждого  множество  состоит из одного числа  , то мы получим однозначную функцию.

Однозначную функцию называют просто «функцией» без добавления прилагательного «однозначная», если только это не приводит к недоразумениям.

Алгебра и тригонометрия доставляют нам примеры многозначных функций; такими являются функции  , , , ….

Функция  определена для . Она двузначна для : каждому положительному  соответствует два действительных числа (отличающихся друг от друга знаками),  квадраты которых равны  . Впрочем, символ    мы будем понимать всюду, если это не оговорено особо, как арифметическое значение корня -й степени из , т. е. как неотрицательное число, -я степень которого равна  (см. § 3.8). Что же касается функции  , то она бесконечнозначная. Она приводит в соответствие каждому значению  из отрезка  бесконечное множество значений , которые могут быть записаны по формуле

.