3.1.2. Функции многих переменных.

Выше мы говорили о функциях от одной переменной. Но можно говорить также о функциях двух, трех и вообще  переменных.

Функция от двух переменных определяется следующим образом. Рассматривается множество  пар чисел . При этом имеются в виду упорядоченные пары. Это значит, что две пары  и   считаются равными (совпадающими) тогда и только тогда, когда  и  . Если, в силу некоторого закона, каждой паре  приведено в соответствие число , то говорят, что этим определена на множестве  функция   от двух переменных  и .

Так как каждой паре чисел  соответствует на плоскости, где введена декартова система координат, точка с абсциссой  и ординатой , и, наоборот, каждой точке, таким образом, соответствует пара , то можно говорить, что наша функция   задана на множестве   точек плоскости.

Функцию  от двух переменных изображают в трехмерном пространстве, где задана прямоугольная система координат , , , в виде геометрического места точек ,  проекции которых  принадлежат множеству определения  .

Например, таким геометрическим местом для функции

,

является верхняя половина шаровой поверхности радиуса 1 с центром в нулевой точке.

В этом же духе можно определить функцию трех переменных. Областью ее определения может теперь служить некоторое множество упорядоченных троек чисел  или, что все равно, соответствующих им точек трехмерного пространства, где введена декартова система координат.

Если каждой тройке чисел (точке трехмерного пространства) , в силу некоторого закона, соответствует число , то говорят, что этим на  определена функция .

Аналогично можно рассматривать множество  упорядоченных систем  из   чисел, где  - заданное натуральное число. Опять, если каждой такой системе, принадлежащей  , соответствует в силу некоторого закона число , то говорят, что  есть функция от переменных , определенная на множестве , и записывается эта функция в виде .

В случае  в нашем распоряжении уже нет реального  - мерного пространства, чтобы использовать его для изображения систем  в виде принадлежащих ему точек. Но математики выдумали -мерное пространство, и оно им благополучно служит, и притом не хуже, чем реальное трехмерное пространство. Именно, -мерным пространством называется множество всевозможных систем  чисел .

Если две функции  и    от   переменных заданы на одном и том же множестве   систем    - точек -мерного пространства, - то можно определить сумму , разность , произведение   и частное ,  как функции, определенные на  при помощи равенств, аналогичных равенствам (2), где надо только числа  заменить системами  . Естественным образом определяются также сложные функции, такие, как , где  - тройки чисел, принадлежащих некоторому множеству троек.

Ниже приводится несколько примеров функций многих переменных, заданных посредством элементарных формул.

П р и м е р  8. , где , , ,  - заданные постоянные действительные числа, есть линейная функция от трех переменных . Она задана на всем трехмерном пространстве. Более общая линейная функция от  переменных   задается формулой , где   - заданные постоянные числа. Эта функция определена в любой точке  -мерного пространства, или, как еще говорят,  на всем  - мерном пространстве.

П р и м е р  9.  . Эта действительная функция задана на области, представляющей собой круг радиуса 1 с центром в , из которого удалены все граничные точки, т. е. точки окружности радиуса 1 с центром . Для этих точек наша функция не определена, потому что  не имеет смысла.

П р и м е р  10. Функция

геометрически  изображается  двумя параллельными полуплоскостями, не связанными между собой. Расположение их по отношению к системе координат  очевидно.

Функция от одной переменной может быть задана неявным образом при помощи равенства

,                           (3)           

где  есть функция от двух переменных  и  .

Пусть на некотором множестве  точек  задана функция . Равенство (3) определяет некоторое подмножество  множества , на котором функция  равна нулю. Конечно, в частности,  может быть пустым множеством. Пусть  - непустое множество, и пусть  - множество (очевидно, непустое) таких значений  (чисел), которым соответствует хотя бы одно  так, что пара ,   принадлежит .  Таким образом,   есть множество всех чисел , каждому из которых соответствует непустое множество  чисел   так, что , или, что все равно, так, что для указанной пары   выполняется равенство (3).  Этим определена на множестве  некоторая функция  от , вообще говоря, многозначная. В таком случае говорят, что функция  определена неявно при помощи равенства (3). Для нее, очевидно, выполняется тождество

 для всех .

По аналогии можно также определить фуекцию  от переменной , определяемую неявно при помощи равенства (3). Для нее выполняется тождество

 для всех ,

где  - некоторое множество чисел. Говорят еще, что функция  (или ) удовлетворяет уравнению (3). Функцию  называют обратной по отношению к функции  .

П р и м е р  11.  Уравнение

,                              (4)

где ,  неявно определяет  двузначную функцию от одной переменной:

;

впрочем, при   она однозначна. Естественно считать, что эта двузначная функция распадается на две непрерывные однозначные функции  и   . Графики их (полуокружности) в совокупности дают окружность радиуса   с центром в начале координат. Эта окружность есть геометрическое место точек, координаты  которых удовлетворяют уравнению (4). Но можно, пользуясь формулой (4), конструировать различные однозначные (разрывные) функции, удовлетворяющие уравнению (4). Например, такой является функция