3.1.3. Полярная система координат.

В плоскости зададим луч   (полярную ось), выходящий из точки  - полюса полярной системы координат (рис. 13, а).

Рис. 13

Положение произвольной точки  (отличной от точки ) плоскости однозначно определяется парой чисел  -  ее полярными координатами,  где  - расстояние  до , а  - выраженный в радианах угол между  и . Если угол  отсчитывается против часовой стрелки от прямой , то он считается положительным и может изменяться от 0 до . Если угол  отсчитывается по часовой стрелке, то он считается отрицательным и может изменяться от  до 0. Точка   исключительная. Она определяется парой  , где  - произвольное число.

Пусть в плоскости, наряду с прямоугольной системой координат ,  с началом в точке , введена полярная система координат , , так что полярная ось и положительная ось  совпадают. Тогда, полярные координаты  произвольной точки  плоскости  преобразуются в декартовы координаты  этой точки по формулам (рис. 13, б)

                              (5)

Равенства (5) называют формулами преобразования полярных координат в декартовы.

Функциональную зависимость , заданную на некотором множестве  значений , можно интерпретировать как множество точек  плоскости в полярной системе координат, где , .

Многие кривые на плоскости могут быть описаны в полярных координатах соответствующими функциями   (многозначными или однозначными). Ясно, что в область определения функции  входят только те значения угла , при которых .

Построение графика функции  можно осуществить по точкам. При данном  проводим луч из точки   под углом  к полярной оси и затем на этом луче отмечаем точку  графика функции, находящуюся на расстоянии  от точки .

Простейшей функцией в полярной системе координат является постоянная функция . Очевидно, что ее графиком является окружность радиуса  с центром в точке .

Другой пример  (рис. 13, в). Это спираль, раскручивающаяся из полюса .

Функция  описывает в полярных координатах спираль Архимеда (рис. 13, г). Отметим, что здесь при , . Стрелка на графике указывает направление движения точки графика при увеличении угла  .

Функция  описывает окружность радиуса единица с центром в точке  (см. рис. 13, д). Наконец, функция

описывают такую прямую, что опущенный на нее из полюса  перпендикуляр имеет длину   и образует с полярной осью угол  (рис. 13, е).