§ 3.2. Предел функции

Число называется пределом функции в точке , если она определена на некоторой окрестности , т. е. на некотором интервале , где , за исключением, быть может, самой точки , и если для всякого можно указать зависящее от него такое, что для всех , для которых , имеет место неравенство

Тот факт, что есть предел в точке , принято записывать следующим образом:

или .

Другое определение предела функции в точке может быть высказано в терминах пределов последовательностей.

Число называется пределом функции в точке , если она определена на некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и если предел последовательности существует и равен , какова бы ни была последовательность , сходящаяся к и такая, что для всех . Таким образом,

Здесь считается, как и в других подобных случаях, само собой разумеющимся, что сходящаяся к переменная пробегает значения, для которых определена.

Высказанные определения эквивалентны. В самом деле, Высказанные определения эквивалентны. В самом деле, пусть функция имеет предел в смысле первого определения, и пусть задана переменная , не равная ни при каком числу и стремящаяся к . Зададим и подберем так, как это сказано в первом определении. Затем подберем натуральное так, чтобы для . Но тогда

для ,

а это значит, что последовательность чисел стремится к , и так как это свойство верно для любой сходящейся к последовательности , лишь бы и все принадлежали к области определения функции, то доказано, что из первого определения предела следует второе.

Наоборот, пусть функция имеет предел в смысле второго определения. Допустим, что при этом она не имеет предела в смысле первого определения. Это значит, что существует хотя бы одно , которое мы обозначим через , для которого нельзя подобрать нужное , т. е. для любого среди , удовлетворяющих соотношениям , должно найтись хотя бы одно такое, что для него .

В качестве мы берем все числа вида и для каждого из них найдем точку , для которой

Из этих соотношений видно, что , в то время как заведомо не стремится к числу . Таким образом, допущение, что из второго определения предела не следует первое, приводит к противоречию.

Эквивалентность двух определений доказана.

Выражение предел функции в точке часто заменяют выражением предел функции при , стремящемся к или, короче, предел функции при . Если угодно, это выражение больше соответствует духу понятия предела потому, что выражение говорит о поведении функции в малой окрестности точки , из которой выбрасывается точка . Оно говорит о том, что если приближается к по любому закону, оставаясь не равным , то соответствующее значение в свою очередь приближается к , т. е. делается как угодно близким к .

П р и м е р 1. Рассмотрим функцию . Она определена для всех . Попробуем найти ее предел при . Для любого , а так как при определении предела при совсем не принимаются во внимание значения в точке , то

Это равенство пока написано в том смысле, что если один из пределов существует, то существует и второй и равен ему. Таким образом, вместо того чтобы вычислять предел более сложной функции , достаточно вычислить предел более простой функции . Этот последний при , очевидно, равен 4. Ведь если подставить в вместо произвольную переменную , стремящуюся к 2, то независимо от способа стремления ее к 2

Вычисления, связанные с нахождением данного предела, обычно располагают следующим образом:

Подчеркнем, что функции и являются разными функциями. Первая из них определена для , в то время как вторая определена для всех . Однако, при вычислении предела функций при нас совершенно не интересует, определены или не определены эти функции в самой точке , и так как для , то

П р и м е р 2. Очевидно, что , потому что, если то . Этот факт можно доказать и на языке и . Определим какой-либо интервал, содержащий точку 1, например . Для любого , принадлежащего ему, очевидно, выполняется неравенство

Зададим теперь произвольное и положим . Тогда для всех , удовлетворяющих неравенству , будет иметь место соотношение

П р и м е р 3. Функция определена для всех значений и является нечетной (график ее для изображен на рис. 14).

Рис. 14

Она определена, таким образом, в окрестности точки , за исключением самой точки . Эта функция не имеет предела при , потому что последовательность отличных от нуля значений стремится к нулю и то же время

не стремится при ни к какому пределу.

Введем еще следующее определение. Будем писать

и говорить, что число есть предел функции при , стремящимся к бесконечности, если определена для всех , удовлетворяющих неравенству при некотором , и для любого можно найти число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству .

Можно доказать, что это определение эквивалентно следующему.

Число есть предел функции при , если функция определена для всех с при некотором и

для любой сходящейся к последовательности .

Доказательство эквивалентности этих двух определений проводится по той же схеме, что и в разобранном выше случае предела в конечной точке .

Вообще, многие свойства пределов при , где - конечное число, и при являются аналогичными. Можно изложить эти свойства единым образом, так что изложение будет одновременно относиться к случаю , где - конечное число, так и к случаю . Для этого под буквой надо понимать либо число (конечное), либо символ . Если есть число, то под окрестностью точки понимается любой интервал , содержащий в себе точку . Таким образом, окрестность (конечной) точки есть множество всех точек , удовлетворяющих неравенствам . Если же (или , или ), то под окрестностью мы условимся понимать множество всех , удовлетворяющих неравенству

Мы будем писать

где может быть конечным числом или (или , или ), если функция определена на некоторой окрестности за исключением, быть может, самой точки (эта оговорка нужна только в случае конечной точки ), и если для любого найдется такая окрестность точки , что для всех , принадлежащих к ней и отличных от , имеет место неравенство

Это определение объединяет в себе, очевидно, оба разобранных выше случая предела : когда стремится к конечному числу и когда стремится к , , .

Функция , для которой , называется бесконечно малой при .

Приступим к изложению свойств функции , имеющей пределы при , где есть число или , , . Условимся произвольную окрестность обозначать символом . Легко проверить, что пересечение двух окрестностей и есть снова некоторая окрестность .

Т е о р е м а 1. Если , где - конечное число, то на некоторой окрестности функция ограничена, т. е. существует положительное число такое, что

для всех , .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия теоремы следует существование окрестности , такой что

Отсюда для указанных

где надо считать . Теорема доказана.

Т е о р е м а 2. Если и - конечное число, то существует окрестность такая, что

Более того, для указанных

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия теоремы следует существование для окрестности такой, что

откуда для указанных . Первое из этих неравенств можно заменить следующими:

При отсюда следует

а при следует

что и требовалось доказать.

Т е о р е м а 3. Если

и на некоторой окрестности , ,

то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , ; тогда для достаточно большого имеет место неравенство

и после перехода к пределу неравенство .

Т е о р е м а 4. Если

(1)

и на некоторой окрестности , ,

, (2)

то

. (3)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ; тогда при достаточно большом для

и в силу (1) существует предел , равный , а так как есть произвольная сходящаяся к последовательность, то имеет место (3).

Т е о р е м а 5 (к р и т е р и й К о ш и с у щ е с т в о в а н и я п р е д е л а). Для того чтобы существовал предел (конечный) , необходимо и достаточно, чтобы функция была определена в окрестности , за исключением, быть может, самой точки , и для всякого существовала такая окрестность , что, каковы бы ни были точки ,

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , где - конечное число; тогда существует окрестность , где определена, за исключением, быть может, самой точки . Кроме того, для любого найдется такая окрестность , что если , то . Пусть и ; тогда

и мы получили, что условие теоремы необходимо.

Докажем достаточность этого условия. Пусть функция определена в некоторой окрестности , за исключением, быть может, самой точки , и пусть для любого можно указать окрестность такую, что для всех , . Зададим произвольную последовательность , , стремящуюся к . Тогда, согласно критерию Коши, для последовательности, стремящейся к пределу, найдется число такое, что для будет . Но тогда

и последовательность удовлетворяет критерию Коши и, следовательно, имеет предел.

Мы доказали следующее свойство рассматриваемой функции : для любой сходящейся к последовательности чисел существует . Из этого свойства автоматически следует, что пределы , соответствующие разным сходящимся к последовательностям, равны между собой. Но тогда существует . В самом деле, пусть , ; . Тогда по доказанному существуют числа и такие, что и . Составим новую последовательность: . Она сходится к числу . По доказанному выше, должна сходиться к некоторому числу и соответствующая последовательность . Но это возможно только если . Таким образом, . Теорема доказана.

Т е о р е м а 6. Пусть

где и - конечные числа. Тогда

и при условии, что ,

Докажем для примера второе равенство. Пусть , ; тогда

но так как предел произведения двух переменных, пробегающих последовательности, равен произведению их пределов, то

Это равенство доказано для любой переменной , , поэтому .

По определению , если функция определена на некоторой окрестности , за исключением, быть может, самой точки , и если для всякого положительного числа найдется такая окрестность точки , что