§ 3.3. Непрерывность функции

На рис. 15, а  изображен график функции  . Его естественно назвать непрерывным графиком, потому что он может быть нарисован одним движением карандаша без отрыва от бумаги. Зададим произвольную точку (число) . Близкая к ней другая точка  может быть записана в виде , где  есть число  положительное или отрицательное, называемое приращением . Разность

называется приращением функции  в точке , соответствующим приращению . Здесь имеется в виду  такое, что . На рис. 15, а  равно длине отрезка .

Рис. 15

Будем стремить  к нулю; тогда для рассматриваемой функции, очевидно, и  будет стремиться к нулю:

.                                            (1)

Рассмотрим теперь график на рис 15, б. Он состоит из двух непрерывных кусков  и  . Однако эти куски не соединены непрерывно, и потому график естественно назвать разрывным. Чтобы график изображал однозначную функцию  в точке , условимся, что  равно длине отрезка, соединяющего  и ;  в знак этого точка  изображена на графике кружком, в то время как у точки  нарисована стрелка, указывающая, что  не принадлежит графику. Если бы точка  принадлежала графику, то функция  была бы двузначной в точке .

Придадим теперь  приращение  и определим соответствующее приращение функции:

.

Если мы будем  стремить к нулю, то теперь уже нельзя сказать, что  будет стремиться к нулю. Для отрицательных , стремящихся к нулю, это так, но для положительных вовсе не так: из рисунка видно, что если , оставаясь положительным, стремится к нулю, то соответствующее приращение  при этом стремится к положительному числу, равному длине отрезка  .

После этих рассмотрений естественно функцию , заданную на отрезке , называть непрерывной в точке  этого отрезка, если приращение ее в этой точке, соответствующее приращению ,  стремится к нулю при любом способе стремления  к нулю. Это (свойство непрерывности  в ) записывается в виде соотношения (1) или еще так:

.                                           (2)

Запись (2) читается так: предел  равен нулю, когда  стремится к нулю по любому закону. Впрочем, выражение «по любому закону» обычно опускают, подразумевая его.

Если определенная на  функция  не является непрерывной в точке , т. е. если для нее не выполняется свойство (2) хотя бы при одном способе стремления  к  нулю, то она называется разрывной в точке .

Функция, изображенная на рис. 15, а, непрерывна в любой точке , функция же, изображенная на рис. 15, б, очевидно, непрерывна в любой точке , за исключением точки , потому что для последней соотношение (2) не выполняется, когда , оставаясь положительным.

Функция, непрерывная в любой точке отрезка (интервала), называется непрерывной на этом отрезке (интервале).

Непрерывная функция математически выражает свойство, с которым нам приходится часто встречаться на практике, заключающееся в том, что малому приращению независимой переменной соответствует малое же приращение зависимой от нее переменной (функции). Прекрасными примерами непрерывной функции могут служить различные законы движения тел , выражающие зависимости пути , пройденного телом, от времени . Время и пространство непрерывны. Тот или иной закон движения  устанавливает между ними определенную непрерывную связь, характеризующуюся тем, что малому приращению времени соответствует малое приращение пути.

К абстракции непрерывности человек пришел, наблюдая окружающие его, так называемые, сплошные среды – твердые, жидкие или газообразные, например металлы, воду, воздух. На самом деле, всякая физическая среда представляет собой скопление большого числа отделенных друг от друга движущихся частиц. Однако эти частицы и расстояния между ними настолько малы по сравнению с объемами сред, с которыми приходится иметь дело в макроскопических физических явлениях, что многие такие явления можно достаточно хорошо изучать, если считать приближенно массу изучаемой среды непрерывно распределенной без всяких просветов в занятом ею пространстве. На таком допущении базируются многие физические дисциплины, например гидродинамика, аэродинамика, теория упругости. Математическое понятие непрерывности, естественно, играет в этих дисциплинах, как и во многих других, большую роль.

Непрерывные функции образуют основной класс функций, с которыми оперирует математический анализ.

Примерами непрерывных функций могут служить элементарные функции (см. ниже § 3.8). Они непрерывны на интервалах изменения , где они определены.

Разрывные функции в математике отражают скачкообразные процессы, встречающиеся в природе. При ударе, например, величина скорости тела меняется скачкообразно. Многие  качественные переходы сопровождаются скачками. Например, зависимость  между температурой одного грамма воды (льда) и количеством  калорий находящегося в ней тепла, когда  изменяется между  и , если принять условно, что при  величина , выражается следующими формулами:

Мы считаем, что теплоемкость льда равна 0,5. При  эта функция оказывается неопределенной – многозначной; можно для удобства условиться, что при  она принимает вполне определенное значение, например . Функция , очевидно, разрывная  при , изображена на рис. 16.

Рис. 16

Дадим определение непрерывности функции  в точке.

Функция  называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе в самой точке , и если ее приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента , стремится к нулю при :

.                        (3)

Если положить , то получим следующее эквивалентное определение непрерывности  в  : функция  непрерывна в точке ,  если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе в самой точке , и если

;                                         (4)

или еще на языке , : если для всякого  найдется  такое, что

.

Равенство (4) можно еще записать следующим образом:

.                                     (4’)

Оно показывает, что под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

П р и м е р 1.  Постоянная  есть функция, непрерывная в любой точке . В самом деле, точке  соответствует значение функции  , точке  соответствует то же значение . Поэтому  и

.

П р и м е р 2. Функция  непрерывна для любого значения , потому что  и, следовательно,  при .

П р и м е р  3. Функция  непрерывна для любого . В самом деле,

.               (5)

Но для любого  имеет место неравенство

                                            (6)

Если , то это следует из рис. 17, где изображена окружность радиуса 1 (дуга длины  больше стягиваемой ею хорды, имеющей длину ). При  неравенство (6) обращается в равенство. Если же , то . Наконец, если , то . Из (5) на основании (6) следует

,

т. е.

.

Но тогда, очевидно,

.

Можно еще сказать, что для всякого  можно найти , именно  такое, что

.

Рис. 17.

Отметим важную теорему.

Т е о р е м а  1. Если функции и  непрерывны в точке , то непрерывны также в этой точке их сумма, разность, произведение и частное (при ).

Эта теорема непосредственно вытекает из теоремы 6 §3.2, если учесть, что в данном случае

.

Справедлива также важная теорема о непрерывности функции от функции (сложной функции).

Т е о р е м а  2. Пусть задана функция , непрерывная в точке , и еще другая функция , непрерывная в точке , и пусть . Тогда сложная функция  непрерывна в точке .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что по определению непрерывности функции  в точке  следует, что она определена в некоторой окрестности этой точки. Поэтому

.

Здесь введена подстановка  и учтена непрерывность  в точке .

П р и м е р  4. Функция

,

где  - постоянные коэффициенты, называется многочленом степени . Она непрерывна для любого . Ведь чтобы получить , надо, исходя из постоянных чисел  и функции , произвести конечное число арифметических действий -  сложения, вычитания и умножения. Но постоянная есть непрерывная функция (см. пример 1), а функция  тоже непрерывна (см. пример 2), поэтому непрерывность  следует из теоремы 1.

П р и м е р  5.  Функция  непрерывна. Она является композицией двух непрерывных функций: , .

П р и м е р  6. Функция

,

непрерывна для указанных , потому что (см. теорему 1) она равна частному от деления непрерывных функций и при этом делитель не равен нулю (при указанных ).

П р и м е р  7. Функция

непрерывна для любого , потому что она является композицией непрерывных функций: , ,  (см. теорему. 2).

П р и м е р  8. Функция  непрерывна  , потому что

  при  . 

П р и м е р  9. Если функция  непрерывна в точке  , то непрерывна также в этой точке и функция .

Это следует из теоремы 2 и примера 8,  потому что функция  есть композиция двух непрерывных функций  ,  .

Отметим еще две теоремы, которые непосредственно следуют из соответствующих теорем 1 и 2 §3.2 для предела функции.

Т е о р е м а  3. Если функция  непрерывна в точке , то существует окрестность  этой точки, на которой  ограничена.

Т е о р е м а  4. Если функция  непрерывна в точке  и , то существует окрестность  точки , на которой

.

Больше того, если , то

,

а если , то

.