§ 1.2. Операции над множествами

Для множеств можно ввести арифметические операции сложения и умножения, которые обладают свойствами, во многом аналогичными соответствующим свойствам операций сложения и умножения чисел.

Пусть даны два произвольных множества  и . Суммой или объединением множеств  и  называется множество , состоящее из элементов  множеств  и ; при этом пишут:  или   (рис. 1). Легко видеть, что .

Рис. 1

Произведением или пересечением множеств  и  называется множество, состоящее из элементов, одновременно принадлежащим множеству  и множеству . Пересечение множеств обозначается через  или  (рис. 2). Очевидно, что .

Рис.2

Если , то говорят, что множества  и  не пересекаются. Используя понятие равенства множеств, можно доказать, что 1) , 2) , 3) , 4) . Докажем,  например, 2) Если , то, согласно определению произведения,  и . Из определения суммы следует, что  или . Пусть для определенности . Тогда , а следовательно, . Значит, . Если теперь элемент , то выполняется по крайней мере одно из соотношений ,  , для определенности пусть . Тогда  и , т. е. . Отсюда . Этим равенство 2) доказано.

Разностью множеств  и  называется множество , состоящее из элементов , которых нет в .

Заметим, что в общем случае   (рис. 3). Но если , то   (рис.4).

Рис. 3                                                   Рис. 4

Множества с введенными операциями сложения и умножения образуют своеобразную алгебру, где нет коэффициентов и степеней.