§ 1.2. Операции над множествами
Для множеств можно ввести арифметические операции сложения и умножения, которые обладают свойствами, во многом аналогичными соответствующим свойствам операций сложения и умножения чисел.
Пусть даны два произвольных множества
и
. Суммой или объединением множеств
и
называется множество
, состоящее из элементов множеств
и
; при этом пишут:
или
(рис. 1). Легко видеть, что
.

Рис. 1
Произведением или пересечением множеств
и
называется множество, состоящее из элементов, одновременно принадлежащим множеству
и множеству
. Пересечение множеств обозначается через
или
(рис. 2). Очевидно, что
.

Рис.2
Если
, то говорят, что множества
и
не пересекаются. Используя понятие равенства множеств, можно доказать, что 1)
, 2)
, 3)
, 4)
. Докажем, например, 2) Если
, то, согласно определению произведения,
и
. Из определения суммы следует, что
или
. Пусть для определенности
. Тогда
, а следовательно,
. Значит,
. Если теперь элемент
, то выполняется по крайней мере одно из соотношений
,
, для определенности пусть
. Тогда
и
, т. е.
. Отсюда
. Этим равенство 2) доказано.
Разностью множеств
и
называется множество
, состоящее из элементов
, которых нет в
.
Заметим, что в общем случае
(рис. 3). Но если
, то
(рис.4).

Рис. 3 Рис. 4
Множества с введенными операциями сложения и умножения образуют своеобразную алгебру, где нет коэффициентов и степеней.