Глава 1. Введение

§ 1.1. Предмет математики. Переменные и постоянные величины, множества

Среди всех наук математика занимает особое место. Математика определяется как наука о пространственных формах и количественных отношениях реального мира. Конечно, если учесть современное состояние математики и разнообразие изучаемых ею структур, то пространственные формы и количественные отношения необходимо понимать в самом общем виде.

Математика дает другим наукам язык чисел и символов для выражения различного рода отношений между явлениями природы. Но прежде чем применить математику, биолог, физик или экономист должны глубоко понять суть изучаемого явления, расчленить его на части, поддающиеся математической обработке.

Объектами изучения в самой математике являются логические модели, построенные для описания явлений природы и общества. Математика изучает соотношения между элементами этих моделей. Если математическая модель верно отражает суть данного явления, то она позволяет вскрывать и необнаруженные вначале закономерности, т. е. математика способна вскрывать и качественную сторону явления.

В силу большой абстрактности одна и та же математическая модель может описывать различные процессы. Например, одно и то же дифференциальное уравнение описывает и характер радиоактивного распада, и изменение температуры тела.

При изучении явлений природы и общества мы на каждом шагу сталкиваемся с изменениями величин, с зависимостью одной величины от другой. Поэтому понятие о переменной величине является основным в математическом анализе.

Под переменной величиной мы будем понимать величину, которая в процессе изучения какого-либо явления принимает хотя бы два различных значения. Величина, которая при исследовании данного вопроса принимает только одно значение, называется постоянной.

Ф. Энгельс отмечал, что введение декартовой переменной величины внесло в математику движение и диалектику.

Если все значения, принимаемые переменной величиной, объединить, то мы получим множество значений этой величины.

Понятие множества также является основным в математике, это простое, первичное понятие, которое мы не будем пытаться определить через другие простые понятия.

Множество – это совокупность, собрание каких-либо объектов произвольной природы.

Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве молекул в данном теле, о множестве телевизоров с цветным изображением в данной аудитории и т. д. Объекты, входящие в данное множество, будем называть элементами множества.

Мы будем обычно обозначать множества большими буквами , а их элементы малыми буквами .

Если элемент  принадлежит множеству , то этот факт обозначают так: . Если же  не входит в множество , то пишут: . Символом (множество  включено в множество ) обозначают тот факт, что если , то .

Множество  в этом случае называется подмножеством множества . Употребляется также равносильная запись  (множество  включает в себя множество ). Символы   называются знаками включения.

Если множество не содержит ни одного элемента, то его называют пустым и обозначают символом . Ясно, что , где  - любое множество.

Для обозначения множеств широко употребляют фигурные скобки, внутри которых тем или иным способом описывают элементы, из которых эти множества состоят. Выражение обозначает множество натуральных чисел, - множество целых неотрицательных чисел, а - множество всех целых чисел. Вот еще пример:  - множество, состоящее из цифр десятичной системы счисления. Очевидно , .

Говорят, что множества  и   равны, и пишут , если  и . На вопрос о том, равны ли данные множества, далеко не всегда легко ответить. Например, если ,  есть множество сумм простых чисел  и , бóльших чем 2, то ясно, что . Однако до настоящего времени не установлено, верно ли, что , т. е. можно ли любое четное число  представить в виде суммы двух простых чисел, больших двух. В данном курсе мы, в основном, будем иметь дело с числовыми множествами, т. е. элементами их будут числа.