§ 3.5. Функции, непрерывные на отрезке

Функция  называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех точках интервала , непрерывна справа в точке  и непрерывна слева в точке .

Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом замечательных свойств, к изложению которых мы сейчас приступим.

Сначала мы сформулируем теоремы, выражающие эти свойства, и разъясним их на графиках и примерах, а затем докажем их формально.

Т е о р е м а  1. Если функция  непрерывна на отрезке , то она ограничена на нем, т. е. существует константа  такая, что выполняется неравенство

.

На рис. 25 изображен график  непрерывной функции  на отрезке . Очевидно, существует число  такое, что  находится ниже прямой , но выше прямой . В этом и заключается теорема 1.

Рис. 25

Заметим, что если функция непрерывна на интервале  или на полуинтервале  или , то она не обязательно ограничена на нем. Например, функция  непрерывна на полуинтервале  , но не ограничена на нем.

Если эту функцию доопределить, положив , то она будет конечной в любой точке отрезка , однако, не ограниченной на нем.

Теорема 2 (Вейерштрасса). Если функция  непрерывна на , то существует ее минимум и максимум на , т. е. существуют точки  такие, что   для всех . Иначе говоря,

.

Непрерывная функция  , изображенная на рис. 25, достигает своего минимума на  в точке  и максимума в точке . В данном случае обе точки  и  принадлежат к интервалу  . Непрерывная функция , изображенная на рис. 26, достигает минимума на отрезке  на левом его конце и максимума  - в некоторой внутренней точке  этого отрезка.

З а м е ч а н и е  1.  По теореме 1 непрерывная на отрезке   функция ограничена на нем.  Следовательно, существуют конечные точные нижняя и верхняя грани  на этом отрезке:

.

Теорема 2 утверждает, что эти грани на  достигаются, т. е. здесь  и  можно заменить соответственно на  и  (минимум и максимум).

З а м е ч а н и е  2. Функция  непрерывна на интервале  и ограничена на нем; верхняя ее грань  не достигается, т. е. нет такого , для которого эта функция равна 1. Таким образом, в теореме 2 условие непрерывности  на замкнутом (содержащим в себе оба его конца  и ) отрезке существенно.

Очевидно, что . Однако, нет такого  на луче , для которого функция  принимает значение , и она не достигает максимума на .

В данном случае условия теоремы не выполняются: область задания непрерывной функции  неограничена.

Если функция  разрывна на , то она не обязательно достигает своей точной верхней грани. Примером может служить функция

Рис. 26                                                        Рис. 27

Т е о р е м а  3. Если функция непрерывна на отрезке  и числа  и  не равны нулю и имеют разные знаки, то на интервале  имеется по крайней мере одна точка  такая, что .

Функция, график  которой изображен на рис. 27, удовлетворяет условиям теоремы 3. Она непрерывна на  и , . Из геометрических соображений очевидно, что график  должен пересечь ось  по крайней мере в одной точке . Это и утверждает теорема 3.

С л е д с т в и е  1. Если функция  непрерывна на ,   и  - произвольное число, находящееся между числами  и , то на интервале  найдется по крайней мере одна точка , для которой .

Это следствие можно сформулировать и так: непрерывная на отрезке  функция принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим новую функцию , где  - константа – число, находящееся между  и . Так как  - непрерывная на  функция, то и  - непрерывная на  функция. При этом, очевидно,  принимает на концах отрезка  значения разных знаков. Тогда по теореме 3 должна найтись на  такая точка , что  или , т. е . Это и требовалось доказать.

С л е д с т в и е  2. Непрерывная на отрезке  функция принимает все промежуточные значения между ее наименьшим и наибольшим значениями (которые существуют по теореме 2).

Для доказательства достаточно применить следствие 1 к , где ,  - точки, в которых функция  достигает свое наименьшее и наибольшее значение.

П р и м е р  1. Уравнение  имеет корень на интервале .

В самом деле, функция  непрерывна на отрезке  и на концах его принимает значения разных знаков: , .

Ниже мы доказываем теоремы 1 – 3 формально.

Д о к а з а т е л ь с т в о   т е о р е м ы  1 . Допустим, что  не ограничена на . Тогда для каждого натурального числа   найдется точка  такая, что

.                                              (1)

Последовательность  ограничена ( и  - конечные!) и из нее можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторому числу  (см. следствие из теоремы 4 § 2.1).  Но в точке  функция  непрерывна (если   , то в этой точке  непрерывна справа (слева)), и потому

.                                                     (2)

Свойство (2) противоречит свойству (1). Поэтому  может быть только ограниченной на .

Д о к а з а т е л ь с т в о   т е о р е м ы  2. По предыдущей теореме непрерывная на  функция ограничена, следовательно, она ограничена сверху некоторым числом :

.

Но тогда существует точная верхняя грань  на :

.                                           (3)

Число  обладает следующим свойством: для любого натурального числа  найдется на  точка  такая, что

.

Последовательность ,  как принадлежащая к , ограничена,  и потому из нее можно выделить подпоследовательность ,  сходящуюся к некоторому числу , которое заведомо принадлежит . Но функция  непрерывна в точке ,  и потому

.

С другой стороны,  

.

Но так как  может стремиться только к одному пределу, то . Верхняя грань (3), таким образом,  достигается в точке , т. е., как говорят, функция  достигает в точке  своего максимума на отрезке . Мы доказали, что существует точка , для которой

.

Доказательство другой части теоремы о минимуме аналогично, но его можно свести к доказательству первой части теоремы, учитывая, что

.

Д о к а з а т е л ь с т в о   т е о р е м ы  3.  Обозначим отрезок  через . Разделим  на две равные части. Если в середине  функция равна нулю, то теорема доказана; если этого нет, то одна из половинок  такова, что на концах ее наша функция принимает значения разных знаков. Обозначим именно эту половинку через  и разделим ее на две равные части. Может случиться, что в середине  наша функция равна нулю, и тогда теорема доказана. Если нет, то обозначим через  ту из половинок, на концах которой  принимает значения разных знаков. Рассуждая так по индукции, мы либо наткнемся на очередном этапе рассуждений на точку , для которой , и тогда теорема доказана, либо получим последовательность (бесконечную) вложенных друг в друга отрезков , на каждом из которых  имеет значения разных знаков. Тогда существует точка , принадлежащая всем  , следовательно, и . Очевидно, , потому что, если допустить, например, что , то нашлась бы окрестность  точки  такая, что для всех  из , принадлежащих , функция  была бы положительной, но этого не может быть, потому что при достаточно большом  отрезок , а  не сохраняет знак на . Теорема доказана.