§ 3.6. Обратная непрерывная функция

Рассмотрим непрерывную строго возрастающую на отрезке  функцию  (рис. 28). Пусть

.

График этой функции есть непрерывная кривая. Из его рассмотрения видно, что если  непрерывно возрастает от  до , то  при этом тоже непрерывно возрастает от  до , пробегая все значения на отрезке  по одному разу. Но тогда каждому значению  соответствует единственное значение  такое, что . Этим определена на отрезке   функция.

,

называемая функцией, обратной к функции .

Очевидно, функция  строго возрастает на отрезке , отображает этот отрезок на  и выполняются тождества

,

График функции  можно получить, повернув на  рассматриваемую плоскость вокруг биссектрисы первого координатного угла системы , . Так как в результате поворота график остается непрерывным, то это показывает, что функция  непрерывна на .

Таким образом, пользуясь чисто геометрическими соображениями, мы установили справедливость следующей теоремы.

Т е о р е м а  1. Пусть функция  непрерывна на отрезке , строго возрастает на нем и , .

Тогда: 1) образ отрезка  при помощи  есть отрезок , 2) существует обратная к  функция , однозначная, строго возрастающая и непрерывная на .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  есть образ  при помощи функции . Так как  и функция  непрерывна на , то  пробегает все значения между числами  и ,  и  других значений принимать не может, ведь по условию она возрастает на  и , . Поэтому , т. е. отрезок  есть образ отрезка  при помощи функции . Отсюда следует, что каждому  соответствует и притом единственное значение  такое, что . Единственность следует из того, что  на  возрастает.

Этим на  определена обратная к  функция

.

Графиком ее можно считать график  (рис. 28), если считать, что ось  есть ось независимой переменной.

Функция  непрерывна. Пусть пока  и . Зададим  так, чтобы  и положим , . Тогда  . Отсюда следует вследствие монотонности и непрерывности , что для заданного нами  нашлась окрестность  точки  такая, что все ее точки   переходят при помощи функции  в - окрестность  точки . А это значит, что функция  непрерывна в точке .

Доказательство для точек  и  аналогично, оперируя полуинтервалами вместо интервалов.

Незначительно изменяя приведенные выше рассуждения, можно доказать следующий аналог теоремы 1.

Т е о р е м а  .  Пусть функция  непрерывна и строго возрастает на  (или на , или ) и

.

Тогда образ интервала (соответственно , ) есть интервал  (соответственно , ) и обратная к  функция  однозначна, строго возрастает и непрерывна на (, ).

З а м е ч а н и е . Строго убывающая непрерывная на  функция  имеет обратную строго убывающую непрерывную функцию на , где , . Это легко устанавливается, если рассмотреть функцию -  или же функцию .

Если же непрерывная на  функция  не является строго монотонной на , то можно определить для нее обратную функцию, но эта последняя уже будет многозначной во всяком случае для некоторых .

П р и м е р . Функция

,

непрерывна, но немонотонна. Множество ее значений  заполняет отрезок . Каждому  из этого отрезка соответствует бесконечное число значений , для которого .

Впрочем, например, на отрезке  функция  непрерывна и строго возрастает и имеет обратную непрерывную функцию, которая, как мы знаем, обозначается так:

.