§ 3.7. Равномерная непрерывность функции

Пусть функция  непрерывна на отрезке  (или интервале, полуинтервале). Тогда для каждой точки  этого отрезка (интервала, полуинтервала) по заданному  найдется  такое, что

,

как только

.

При изменении  при постоянном  число , вообще говоря, изменяется – оно зависит не только от , но и от . Как видно из рис. 29, число , пригодное на участке с пологим графиком, может оказаться слишком большим для участка с круто поднимающимся графиком.

Рис. 29

В связи с этим естественно выделить те непрерывные функции, для которых при данном  можно указать , пригодное сразу для всех , принадлежащих тому множеству, где задана функция.

Начнем с определения.

О п р е д е л е н и е  1. Функция , определенная на множестве , называется равномерно непрерывной на этом множестве, если для всякого  найдется , зависящее только от , такое, что

для всех , удовлетворяющих неравенству .

Легко видеть, что если функция равномерно непрерывна на множестве , то тем более она равномерно непрерывна на любом его подмножестве  . Обратное, вообще говоря, неверно.

Т е о р е м а  1.  Если функция  определена и непрерывна на отрезке , то она равномерно непрерывна на нем.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что теорема неверна. Тогда существует такое , что для любого  найдется пара точек , удовлетворяющих неравенству , для которых

.

Зададим стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел . Для каждого  найдутся точки  такие, что

, но .                                      (1)

Так как последовательности  принадлежат к , то эта последовательность ограничена и из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке . Так как , , то подпоследовательность  тоже сходится к точке . По условию функция  непрерывна на  и, следовательно, непрерывна в точке . Конечно, если  или , то надо считать, что  непрерывна в  справа или соответственно слева. Поэтому

.

После перехода к пределу в (1) при  получим

,                              (2)

и мы пришли к противоречию: .

Заметим, что в (2) мы воспользовались непрерывностью функции (см. § 3.3,             пример 8). Теорема доказана.

П р и м е р  1. Функция

непрерывна на отрезке , поэтому на основании теоремы 1 она равномерно непрерывна на этом отрезке.

С другой стороны, на полуинтервале  эта функция хотя и непрерывна, но не является равномерно непрерывной. Это показывает, что требование в теореме 1, чтобы непрерывная функция была задана на отрезке, а не на интервале, существенно.

Убедимся в том, что наша функция не является равномерно непрерывной на . Точки , очевидно, принадлежат полуинтервалу , и для  них

.

Если задать , то при любом  найдется такое , что

,

между тем как

.

Из сказанного следует, что нашу функцию нельзя продолжить на отрезок , доопределив ее в точке  так, чтобы она стала непрерывной на , потому что тогда, согласно теореме 1, она была бы равномерно непрерывной на , а следовательно, и на , чего быть не может.