§ 3.8. Элементарные функции

Функции (постоянная), , , , , , , , , мы будем называть простейшими элементарными функциями.

Применяя к этим функциям арифметические действия или операции функции от функции (суперпозиции) в конечном числе, мы будем получать новые более сложные функции, которые называются элементарными функциями.

Например, - элементарная функция.

Элементарные функции нам известны из школьной математики. Там уделялось большое внимание их свойствам, но определялись они не всегда строго, полагаясь на интуицию учащегося.

Нам будет полезно уделить некоторое внимание этим вопросам с точки зрения общих фактов математического анализа, которыми мы уже успели овладеть.

а) П о с т о я н н а я ф у н к ц и я . Каждому действительному числу (точке) она приводит в соответствие одно и то же число . График ее есть прямая, параллельная оси , отстоящая от этой оси на расстояние выше этой оси, если , и ниже, если . Это непрерывная функция на всей действительной оси (см. § 3.3, пример 1).

б) С т е п е н н а я ф у н к ц и я ( - постоянная). При натуральном эта функция определена на всей действительной оси. Чтобы вычислить ее (теоретически!), разлагаем в десятичную дробь () и перемножаем эту дробь саму на себя раз, применяя каждый раз умножения десятичных дробей (см. § 1.6, (11)) и правило знаков.

Функция непрерывна, потому что она есть произведение непрерывных функций , взятых в конечном числе. Она строго возрастает на , что видно из соотношений

при . Кроме того, она стремится к при . В самом деле, если , то и при , .

Итак функция при натуральном непрерывна, строго возрастает на и для нее , . Но тогда на основании теоремы 1’ § 3.6 функция отображает полуинтервал на полуинтервал и существует обратная к ней однозначная непрерывная строго возрастающая функция. Эту функцию обозначают так:

и называют арифметическим значением корня - й степени из .

Отметим, что при

(1)

Подчеркнем, что если есть произвольное неотрицательное число , то для него на основании сказанного существует и притом единственное неотрицательное число (арифметическое значение корня -й степени из ) такое, что .

Мы сейчас доказали существование корня - й степени из .

Этого утверждения в школьной математике не хватало. Там вводилось понятие корня -й степени из и изучались свойства корней -й степени, однако не доказывалось, что такие корни существуют – факт существования считался само собой разумеющимся.

Отметим, что если - число нечетное , то функция нечетная . Она непрерывна, очевидно, строго возрастает на и обладает свойствами

Поэтому, на основании теоремы 1’ § 3.6, функция отображает на и имеет на обратную непрерывную строго возрастающую функцию.

Здесь выражение при понимается как арифметическое значение корня -й степени из , т. е. как положительное число, -я степень которого есть . Если же , то

где в правой части корень понимается в смысле арифметического значения.

Для четного есть четная непрерывная функция. Она отображает интервал на полуинтервал . Но она не монотонна на и обратная к ней функция двузначна:

Значение единственное, для которого она однозначна.

На рис. 30 и 31 изображены графики некоторых функций , .

Рис. 30 Рис. 31

В школьной математике функция определяется и для рациональных . Пусть . Полагают для

и доказывают, что

Полагают также

и еще

При этом доказывают для любого рационального свойство, характерное для степенной функции:

Отметим, что функция , как это нетрудно установить, непрерывна и строго возрастает на полуинтервале и отображает на , поэтому она имеет обратную непрерывную строго возрастающую функцию, определяемую, очевидно, равенством

Что же касается функции , то она строго убывает и непрерывна на интервале и отображает на . Поэтому она имеет на обратную строго убывающую непрерывную функцию, определяемую равенством

Очевидно,

Степенная функция может быть определена (для , а при и для ) также и для иррациональных , но это лучше сделать при помощи показательной функции (см. ниже в)).

Отметим, что нас интересовали только действительные корни уравнения . Но если бы мы искали комплексные корни, то для каждого нашли бы различных корней (см. ниже § 5.3).

П р и м е р 1. Покажем, что

. (2)

В самом деле, функция , непрерывна и возрастает. Ведь она есть обратная к непрерывной функции , . Поэтому для , .

Положим теперь

где, в силу сказанного, . Имеем

Откуда

что и требовалось доказать.

а) П о к а з а т е л ь н а я ф у н к ц и я . В дальнейшем будем рациональные числа обозначать греческими буквами . Пусть пока .

Что такое при рациональном, нам известно из школьной математики (см. еще б)).

Нам известно также из школьного курса математики, что:

Добавим еще

Свойство мы сейчас докажем. Запишем в виде . Тогда

Правая часть этого неравенства стремится к бесконечности при , следовательно, и левая. Далее, считая, что есть целая часть , будем иметь

и если , то , следовательно, . Но тогда .

Пусть - произвольное рациональное число. Докажем, что число можно определить как точную верхнюю грань

(4)

чисел , распространенную на все рациональные числа .

В самом деле, на основании

, (5)

т. е. выполняется первое свойство точной верхней грани. С другой стороны, построим какую-либо возрастающую последовательность рациональных чисел , стремящуюся к . Для нее , . Это свойство доказывается ниже (см. (8)). Поэтому для любого можно найти такое , что

, (6)

т. е. выполнено второе свойство точной верхней грани. Из (5) и (6) следует (4).

Пусть теперь - произвольное иррациональное число, и пусть - натуральное число, большее . Имеет место очевидное неравенство

т. е. множество чисел , распространенное на рациональные числа , ограничено. Но тогда существует точная верхняя грань этого множества

Это есть вполне определенное число, которое мы обозначим через :

. (7)

Этим функция определена для всех действительных . Она называется показательной функцией.

Итак, функция определяется как точная верхняя грань чисел , распространенная на рациональные .

Если - рациональное, то это определение совпадает со старым (дает одно и то же число), при иррациональных же оно дает новые числа .

Можно доказать, что функция , определенная при помощи равенства (7), обладает следующими важными свойствами:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) .

Отметим, что из свойств и следует непрерывность функции для любого значения :

при (8)

В дальнейшем будем считать, что .

Д о к а з а т е л ь с т в о 1). Для любого существует , и потому

, т. е. .

Д о к а з а т е л ь с т в о 2). Пусть и ; тогда . С другой стороны, пусть есть произвольное рациональное число, удовлетворяющее неравенству

. (9)

Покажем, что можно записать в виде

, где .

Из (9) следует, что

Подберем рациональное , для которого

, (11)

и положим

. (12)

Тогда из первого неравенства (11) следует, что

. (13)

Таким образом, множество всех сумм , где , равно множеству всех :

Поэтому

(см. § 2.8, задача 2).

Д о к а з а т е л ь с т в о 3). Пусть и и , - какие-либо рациональные числа, для которых . Тогда

и мы доказали, что

Д о к а з а т е л ь с т в о 4). Для натурального

(см. пример 1 п. 6)) и мы доказали пока, что

. (14)

Зададим теперь произвольную последовательность положительных чисел , стремящуюся к нулю . Пусть - целая часть . Тогда и

Поэтому, в силу (14)

В силу произвольности последовательности , где , Этим доказано, что существует правый предел

(15)

но тогда существует и левый предел

. (16)

Из (15) и (16) следует, что (см. § 3.2, (6), (7)). Этим свойство доказано полностью.

Д о к а з а т е л ь с т в о 5). Зададим как угодно большое число . Существует рациональное число такое, что , поэтому

Следовательно, при .

Д о к а з а т е л ь с т в о 6).

Д о к а з а т е л ь с т в о 7). Отметим, что при натуральном , в силу ,

;

Для рационального числа

Далее, если - произвольное положительное число и , где - рациональные числа, то в силу непрерывности показательной функции

и мы доказали 7) для .

Если , то

Если , то полагаем

Свойства 1), 2), 4) при этом сохраняются. Свойство 3) имеет вид .

Свойство 5): , .

Свойство же 6) имеет вид .

г) Функция . Будем считать . Так как функция непрерывна и строго возрастает на и отображает интервал на интервал , то существует обратная к ней функция, непрерывная и строго возрастающая на . Ее называют логарифмом при основании и обозначают символом

Из сказанного следует, что (мы заменяем на )

При рассуждения аналогичны. Функция также отображает действительную ось на полуось , но строго убывая. Обратная функция , определенная на , также будет строго убывать, и теперь

Имеют место тождества (см. § 3.6)

, (17)

. Отсюда на основании свойств функции при имеем

Если в этом равенстве заменить на , то получим

Далее (см. 7))

поэтому

. (18)

Наконец, отметим, что для положительных не равных 1 чисел и имеет место

и, следовательно,

Логарифм числа при основании называется натуральным логарифмом числа и обозначается так: .

д) Вернемся к степенной функции

После изложенного выше мы можем сказать, что эта функция имеет смысл не только для рациональных , но и для иррациональных. Ее можно записать (см. (17) и (18)) так:

, (19)

откуда видно, что она непрерывна, как суперпозиция непрерывных функций.

При она строго возрастает и обладает свойствами

При естественно считать, что , тогда функция делается непрерывной справа в точке .

При функция непрерывна и строго убывает на положительной полуоси и обладает свойствами

Из формулы (19) следует характерное свойство степенной функции

е) Функция . Пусть функция и заданы в окрестности точки , за исключением, быть может, самой этой точки, и , ( и - конечные числа). Тогда

. (20)

В самом деле (см. (17), (18)),

Во втором равенстве этой цепи использована непрерывность функции , а в четвертом – непрерывность функции .

Если и непрерывны в точке и , то в некоторой окрестности этой точки (см. § 3.3, теорема 4) и , . Поэтому в силу (20)

Отметим интересные случаи, не предусмотренные равенством (20), когда (при , ) , ; , ; , .

В этих случаях не действует теорема о пределе . Заранее, не имея более точной информации о характере стремления и к указанным пределам, невозможно дать формулу для . Эти случаи дают для выражения в окрестности точки неопределенности вида , , .

ж) Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е ф у н к ц и и , , и др. известны читателю из курса тригонометрии. Они определяются там из геометрических соображений. Мы будем тоже базироваться на этих определениях.

Можно было бы дать чисто аналитическое определение тригонометрических функций, но мы этого делать не будем.

Отметим, что функция непрерывна (см. § 3.3, пример 3) и строго возрастает на отрезке , отображая этот отрезок на отрезок . Но тогда она имеет обратную однозначную непрерывную функцию

Однако функция , рассматриваемая на всей оси , имеет многозначную, даже бесконечнозначную, обратную функцию , все значения которой вычисляются по формуле

, (21)

т. е. каждому соответствует множество значений , определяемых формулой (21).

Подобным образом для функций

обратными будут функции

а для этих же функций, рассматриваемых на действительной оси, обратные функции имеют соответственно вид

з) Г и п е р б о л и ч е с к и е ф у н к ц и и. Функции

называются соответственно гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом. Начертим их графики (рис. 32 и 33). Функции , , определены на , а - на этом же интервале, за исключением точки .

Рис. 32 Рис. 33

Легко проверить, что для этих функций имеют место формулы, подобные формулам обычной тригонометрии (но не всегда совпадающие). Например,

Полагая в последнем равенстве , получим

Отметим, что все рассмотренные здесь функции непрерывны в своих областях определения. Для , существуют обратные функции ареасинус гиперболический и ареатангенс гиперболический , которые однозначны. Обратная функция для при также однозначна.