§ 3.9. Замечательные пределы

Т е о р е м а  1.

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция  является непрерывной, то  при . Поэтому выражение  представляет собой неопределенность вида . Раскроем эту неопределенность. Из определения тригонометрических функций и геометрических соображений имеем (рис. 34)

при  ( Сравните площади треугольника , сектора  и треугольника ). Отсюда, деля на , получаем

  или                             (1)

Рис. 34

Неравенства (1) верны и для , так как функции  и  четные. Далее функция  непрерывна, поэтому

,

и, следовательно, переходя к пределу в (1), в силу теоремы 4 § 3.2 получим, что

.

П р и м е р  1.

.

Т е о р е м а  2.

.                                  (2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу определения предела функции мы должны показать, что

                            (3)

Если  - натуральное, то это уже доказано. Чтобы доказать (2), достаточно убедиться в том, что (2) верно в двух случаях: когда  и когда  , пробегая не обязательно целые значения (см. замечание в конце § 3.2).

Пусть - произвольная переменная, стремящаяся к  , и пусть  - целая часть числа . Тогда  и

.

При  , откуда первый и последний члены цепочки неравенств стремятся к . Поэтому

,

и так как при этом , то мы доказали (3) для .

Если теперь , то  и

 

,

т. е. (2) доказано.

П р и м е р  2.

.

Получается из (2) заменой .

П р и м е р  3.

.

При  это выражение сводится к пределу , потому что по определению считается, что .

Пусть теперь . Если , то  и

.

Надо учесть, что степенная функция  непрерывна в точке  (см. § 3.8, д)).

П р и м е р  4.

.

Так как  есть непрерывная функция на , то (см. пример 2)

.

П р и м е р  5.

.

В самом деле, положим . В силу непрерывности показательной функции  при . Далее,  , поэтому (см. пример 4)

.