§ 3.10. Порядок переменной. ЭквивалентностьБудем рассматривать две функции
то будем этот факт записывать так:
и говорить, что Например:
Выражение Свойство (1), очевидно, выражает тот факт, что функцию Если функции Будем еще писать
и называть функции
Например,
или еще (см. примеры 1, 4, 5 § 3.9)
Отметим, что если
то это эквивалентно факту
что мы условились обозначать также так:
Терминология, которую мы здесь ввели, нужна для того, чтобы упрощать вычисления и сокращать записи формул. Важно при этом усвоить несколько простых свойств асимптотически равных (эквивалентных) функций, которые выражены в теоремах ниже. Т е о р е м а 1. Если
то
Д о к а з а т е л ь с т в о. Дело в том, что если
Т е о р е м а 2. Для выполнения свойства (9) необходимо и достаточно, чтобы
Равенство (11) надо читать следующим образом: слагаемое, которое добавляется к Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть имеет место (9). Тогда
Следовательно,
и мы доказали (11). Обратно, если верно (11), то
где
и мы получили (9). Т е о р е м а 3. Если то
Эти равенства надо понимать в том смысле, что если существует в них предел справа, то существует предел и слева, и они равны, и обратно. Отсюда следует, что если какой-либо из этих пределов не существует, то не существует и второй. Д о к а з а т е л ь с т в о. Приведем только одно из этих рассуждений. Пусть существует предел справа в (12). Тогда
П р и м е р 1.
П р и м е р 2.
О п р е д е л е н и е . Если для функции
то говорят, что функция Правые части соотношений (3) – (7) суть, очевидно, главные степенные члены левых частей при Будем говорить, что
если
где В частности, равенство
обозначает тот факт, что П р и м е р ы: 1) 2) 3)
|