Глава 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

§ 4.1. Производная

Понятие производной – важнейшее понятие математического анализа наряду с понятием интеграла.

Производной от функции в точке  называется предел отношения ее приращения  в этой точке к соответствующему приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю.

Производную принято обозначать так:

.                                  (1)

Но широко употребляются и другие обозначения: ,  ,  . Удобство того или иного из них читатель впоследствии оценит сам.

При фиксированном  величина  есть функция от

.

Для существования производной от  в точке  необходимо, чтобы функция  была определена в некоторой окрестности точки , в том числе в самой точке . Тогда функция  определена для достаточно малых не равных нулю , т. е. для , удовлетворяющих неравенствам , где  достаточно мало.

Конечно, не для всякой функции , определенной в окрестности точки , существует предел (1). Обычно, когда говорят, что функция  имеет в точке  производную , подразумевают, что она конечна, т. е. предел (1) конечный. Однако, может случиться, что существует бесконечный предел (1), равный , , или . В этих случаях полезно говорить, что функция  имеет в точке  бесконечную производную (равную , ,    или ).

Если в формуле (1) предполагается, что , принимая только положительные значения , то соответствующий предел (если он существует) называется правой производной от  в точке . Его можно обозначить так: .

Аналогично предел (1), когда , пробегая отрицательные значения , называется левой производной от  в  .

Конечно, для вычисления  (соответственно ) необходимо только, чтобы  была задана в точке  и справа от нее в некоторой ее окрестности (соответственно в  и слева от ).

Типичным является случай, когда  задана на отрезке  и имеет во всех внутренних точках этого отрезка, т. е. в точках интервала , производную, в точке же  имеет правую производную, а в точке  - левую. В таких случаях говорят, что функция  имеет производную на отрезке , не оговаривая, что на самом деле в точке  она имеет только правую производную, а в точке  - только левую.

Нетрудно видеть, что если функция  имеет правую и левую производные в точке  и они равны, то  имеет производную в :

.

Но если правая и левая производные в  существуют и не равны между собой , то производная в  не существует.

П р и м е р. Рассмотрим функцию  (рис. 35). Для нее

.

Если , то  для достаточно малых  и

.

Рис. 35

Если , то  для достаточно малых  и

.

Таким образом,

Пусть теперь . Тогда

Поэтому

.

Таким образом, функция  имеет в точке  правую производную, равную 1, и левую – равную  -1, что показывает, что в точке  функция  производной не имеет.

Мы знаем (см. § 3.3, пример 8), что  есть непрерывная функция для всех значений , в том числе и в точке , поэтому она может служить примером непрерывной всюду функции, не имеющей в некоторой точке производной. В математике известны примеры функций, непрерывных на всей действительной оси и не имеющих в любой точке оси производной.

С другой стороны, всякая функция, имеющая производную (конечную!) в точке , непрерывна в этой точке.

В самом деле, пусть предел (1) существует в точке  и конечен. Этот факт можно записать следующим образом.

,                                         (2)

где  при , т. е.  есть бесконечно малая при . Из (2) следует:

.

Переходя в этом равенстве к пределу, когда , получим

,

что показывает, что  непрерывна в точке .

Отметим некоторые важные приложения производной.

М г н о в е н н а я   с к о р о с т ь.  Пусть функция  выражает закон движения точки на прямой, которая рассматривается как координатная ось . Здесь  - координата движущейся точки в момент времени . Путь, пройденный точкой за промежуток времени , равен

.

Средняя ее скорость в этом промежутке времени равна

.

Истинную же (мгновенную) скорость в момент времени  естественно определить как предел

.

С и л а   т о к а. Пусть  есть количество электричества, проходящее через сечение провода за время . Тогда

есть средняя сила тока за промежуток времени . А предел

есть сила тока в момент времени .

П л о т н о с т ь   р а с п р е д е л е н и я   м а с с ы.  Пусть (рис. 36) на отрезке  оси  распределена масса вообще неравномерно, так, что количество массы, нагруженной на отрезок , равно

.

Это количество пропорционально площади фигуры . Таким образом,  есть функция от  . Количество массы, приходящееся на отрезок , очевидно, равно

.

Средняя ее плотность на этом отрезке равна , а предел

есть истинная плотность распределения массы в точке .

Рис. 36