§ 4.2. Геометрический смысл производной

Пусть на интервале задана непрерывная функция . Ее график называется непрерывной кривой. Обозначим его через . Зададим на точку (рис. 37 и 38) и поставим целью определить касательную к в этой точке. Для этого введем на другую точку , где (на рис. 37 изображен случай , а на рис. 38 – случай ). Прямую, проходящую через точки и , направленную в сторону возрастания (отмеченную стрелкой), назовем секущей и обозначим через .

Рис. 37 Рис. 38

Угол, который образует с положительным направлением оси , обозначим через . Мы считаем, что . При угол отсчитывается от оси против часовой стрелки, а при - по часовой стрелке. На данных рисунках . На рис. 37 , , а на рис. 38 , . В обоих случаях .

Если , то и точка , двигаясь по , стремится к . Если при этом угол стремится к некоторому значению , отличному от и , то существует предел

, (1)

равный производной (конечной) от в точке :

. (2)

Обратно, если существует (конечная) производная , то .

При стремлении к секущая стремится занять положение направленной прямой , проходящей через точку и образующей угол с положительным направлением оси .

Направленная прямая называется касательной к кривой в ее точке .

О п р е д е л е н и е. Касательной к кривой в ее точке называется направленная прямая , к которой стремится секущая (направленная в сторону возрастания прямая), проходящая через и точку , когда .

Мы доказали, что если непрерывная функция имеет конечную производную в точке , то ее график в соответствующей точке имеет касательную с угловым коэффициентом . Обратно, существование предела

влечет за собой существование конечной производной и справедливость равенств (1), (2).

Рис. 39

Может случиться, что имеет в точке правую и левую производные, отличные между собой:

Тогда есть угловая точка . В этом случае касательная в не существует, но можно говорить, что существует правая и левая касательные с разными угловыми коэффициентами:

На рис. 39 приведен пример такого случая.

Пусть теперь производная от в точке бесконечна:

Отметим четыре важных случая:

1) (рис. 40).

2) (рис. 41).

Рис. 40 Рис. 41

3) , .

Левая касательная перпендикулярна оси и направлена вниз. Правая касательная перпендикулярна оси и направлена вверх (рис. 42).

4) , .

Левая и правая касательные перпендикулярны параллельно оси , первая вверх, вторая вниз (рис. 43).

Рис. 42 Рис. 43

П р и м е ч а н и е. Обычное определение касательной к кривой следующее: касательная к кривой в ее точке есть прямая, к которой стремится секущая , проходящая через точку и другую точку , когда последняя, двигаясь по , стремится к .

В этом определении не предполагается, что и - направленные прямые. Это определение вполне корректно в случае касательной на параллельной оси . Однако, если применить его, например, к случаю 4) (см. рис. 43, где - угловая точка), то получим, что данная кривая имеет в точке единственную касательную. Это не вяжется с нашим представлением о гладкости кривой, имеющей касательную.

Приведенное нами определение дает в точке две касательные (сливающиеся), имеющие противоположные направления. Угол между ними равен .

Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой (в плоскости), проходящей через точку под углом к положительному направлению оси , имеет вид . Отсюда уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

(3)

где , .

Прямая, проходящая через точку перпендикулярна к касательной к в этой точке, называется нормалью к в точке . Ее уравнение, очевидно, имеет вид

(4)

П р и м е р 1.

Найти уравнение касательной к кривой

(5)

в некоторой ее точке , т. е. .

Кривая (5) называется эллипсом. Очевидно, что эллипс расположен симметрично относительно осей координат, так как его уравнение не меняется при замене на и на . При выводе уравнения касательной будем считать, что , . Из (5) имеем

. (5’)

Отсюда .

Вычислим функцию и производную в точке :

. (6)

Уравнение касательной к эллипсу в точке :

. (7)

Умножая (7) на , в силу (6) будем иметь

Так как у нас , то уравнение касательной запишется:

. (8)

Таким образом, чтобы получить уравнение касательной к эллипсу в его точке , нужно в уравнении эллипса (5) заменить на , и на .

Рис. 44

При отрицательных значениях рассуждения те же самые и (8) будет уравнением касательной в любой точке эллипса . Из уравнения (8) видно, что касательная к эллипсу в его точке пересекает ось в точке с абсциссой , т. е. при эта точка пересечения находится правее эллипса, а при - левее (рис. 44).

П р и м е р 2. Найти уравнение касательной к кривой

(9)

в некоторой ее точке .

Кривая (9) называется гиперболой. Эта кривая также симметрична относительно осей координат.

Проводя рассуждения, как в примере 1, получим уравнение касательной к гиперболе в виде

Точка пересечения этой касательной с осью имеет абсциссу , т. е. эта точка пересечения находится в для и в для (рис. 45).

Рис. 45 Рис. 46

П р и м е р 3. Найти уравнение касательной к кривой

(10)

в некоторой ее точке .

Данная кривая называется параболой. Она расположена симметрично относительно оси (т. е. в (10) является четной функцией от ). В силу этого достаточно рассмотреть верхнюю половину параболы . Из (10) имеем

(10’)

Отсюда

Уравнение касательной к параболе в точке :

или

Так как , то

. (11)

Таким образом, чтобы получить уравнение касательной к параболе в ее точке , нужно в уравнении параболы (10) заменить на , а на .

Касательная (11) к параболе (10’) в ее точке пересекает ось в точке с абсциссой (рис. 46) независимо от величины , т. е. касательные к любым параболам в точке пересекают ось в одной и той же точке .