§ 4.3. Производные элементарных функций

Постоянная  - каждому  соответствует одно и то же значение . Таким образом, значению  соответствует значение функции . Следовательно,

.                                     (1)

Степенная функция .

,                                                          (2)

потому что

 

.

Справедливы формулы

,                                                         (3)

,                                                        (4)

                                               (5)

Здесь предполагается, что ,  - функции от , имеющие производную в точке . В случае (5) дополнительно предполагается, что . Утверждается, что в таком случае,  в точке  существуют производные, стоящие слева в равенствах (3), (4), (5),  и эти равенства верны.

В самом деле, зададим . Новому значению  аргумента соответствуют новые значения наших функций ,  и

,

.

Далее (пояснения ниже),

,

.

Надо учесть, что функция , как имеющая производную, непрерывна, и потому  при .

Наконец,

.

Снова надо учесть, что  при , потому что функция , как имеющая производную, непрерывна.

Рассмотрим функцию .

,                                                         (6)

потому что

.

Надо учесть, что функция  непрерывна.

Аналогично доказывается, что

,                                                        (7)

,                                                  (8)

.                                               (9)

В самом деле, например,

.

Для функции  имеем

.

Используя замечательный предел

,

получаем

.                                              (10)

В частности,

.                                                             (10’)