§ 4.4. Производная сложной функции

Т е о р е м а  1. Если функция  имеет производную в точке , а функция  имеет производную в точке , то сложная функция

                                                     (1)

имеет производную (по ) в точке  и справедливо равенство

                                                      (2)

или

.                                                             (3)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим , ему соответствует значение . Придадим  приращение , это вызовет приращение . Так как функция  имеет производную в точке , то на основании равенства (2) § 4.1, имеем

,                                               (4)

где  при .

Будем считать, что . Равенство (4) при этом соглашении выполняется, т. к. если подставить в него , то получится .

Разделим теперь равенство (4) на :

.                                               (5)

Пусть   стремится к нулю. Тогда , потому что функция  имеет производную в точке  и, следовательно, непрерывна.

Переходим в равенство (5) к пределу при . Тогда  и , поэтому получим

.

Теорема доказана.

Формула (1) может быть усложнена. Например, если , ,  и все три функции имеют производные в соответствующих точках, то .

П р и м е р  1.   .

Полагаем , , . Тогда

.

П р и м е р  2.  .

Полагаем . Тогда

.

Обычно при вычислениях вспомогательные переменные  не вводят, а только подразумевают их.

В случае примера 1 вычисления выглядят так:

.

Или еще короче

.