§ 4.5. Производная обратной функции

Пусть функция  строго возрастает, непрерывна на интервале  и имеет конечную не равную нулю производную  в некоторой точке . Тогда обратная для  функция  также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством

                                             (1)

или

                                               (1’)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Как нам известно, обратная функция  строго возрастает  и непрерывна на интервале , где

(см. § 3.6, теорема 1’).

Дадим рассматриваемому  приращение . Ему соответствует приращение  обратной функции, также не равное нулю в силу строгой монотонности . Поэтому

.

Если теперь , то  в силу непрерывности  приращение  также ; но при   , следовательно, существует предел

.

Этим формула (1) доказана.

П р и м е ч а н и е . Если  непрерывна на , то  непрерывна на .

Это следует из (1), где можно положить :

.

Ведь сложная функция , состоящая из непрерывных функций  и , непрерывна.