§ 4.6. Производные элементарных функций (продолжение)

1. . Отсюда  - обратная функция. Поэтому

,  т. е.  .

В частности,

.

2. ,  - обратная функция. Поэтому

,

т. е.

.

Перед корнем поставлен знак +, потому что  на .

3. .

4. ,  - обратная функция . Тогда

,

т. е.

.

5. Совершенно аналогично доказывается, что

.

6. Производная от степенной функции  (,  - произвольное действительное число). Имеем

.

Так как функции  и  имеют производную, то по теореме о производной сложной функции получим

.

Таким образом,

.

Этот результат согласуется с формулой (2) § 4.3 для производной от функции  , где  - натуральное число.

7. Функция  . Если  и  имеют производную, то этим же свойством обладает функция

                                                 (1)

и

.                      (2)

Выражение

                                                     (3)

называется логарифмической производной функции .

Так как

,

то в силу формулы (3)

,

откуда следует (2).

8. Гиперболические функции.

,

,

,

   .

9.  - обратная функция для функции . Отсюда

(см. далее § 4.12, пример 2).