§ 4.7. Дифференциал функции

4.7.1. Дифференцируемые функции.

Пусть функция  имеет производную в точке  (конечную):

.

Тогда  для достаточно малых  можно записать в виде суммы  и некоторой функции, которую мы обозначим через  и которая обладает тем свойством, что она стремится к нулю вместе с :

и приращение  в точке  может быть записано в виде

или

.                                                 (1)

Ведь выражение  понимается как функция от  такая, что ее отношение к  стремится к нулю вместе с .

О п р е д е л е н и е . Функция  называется дифференцируемой в точке , если ее приращение  в этой точке может быть представлено в виде

,                                                    (2)

где  не зависит от , но вообще зависит от .

Т е о р е м а  1. Для того, чтобы функция  была дифференцируемой в точке , т. е.  чтобы ее приращение в этой точке представлялось по формуле (2), необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой точке. И тогда .

Таким образом, сказать, что  имеет производную в точке  или  дифференцируема в точке  - это одно и то же. Поэтому, процесс нахождения производной называют еще дифференцированием функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о   т е о р е м ы   1. Достаточность условия доказана выше: из существования конечной производной  следовала возможность представления  в виде (1), где можно положить .

 Н е о б х о д и м о с т ь   у с л о в и я. Пусть функция  дифференцируема в точке . Тогда из (2), предполагая , получаем

.

Предел правой части при  существует и равен :

.

Это означает, что существует производная

.