4.7.2. Дифференциал функции.

Пусть функция  дифференцируема в точке : т. е. для ее приращения  в этой точке выполняется равенство (2). Тогда  есть сумма двух слагаемых. Первое из них  пропорционально , а в таких случаях говорят, что оно есть линейная однородная функция от . Второе -  является бесконечно малой функцией высшего порядка малости сравнительно с . Если , то второе слагаемое стремится к нулю при  быстрее, чем первое. В связи с этим первое слагаемое  называется главным членом приращения  (при !. См. определение в конце § 3.10). Это слагаемое называют дифференциалом функции и обозначают символом . Итак, по определению

.

На рис. 47 изображен график  функции ;  - касательная к  в точке , имеющей абсциссу ; , где  - угол, образованный касательной с осью ;

,

.

Рис. 47

Таким образом, дифференциал функции  в точке , соответствующий приращению , есть приращение ординаты точки, лежащей на касательной .

Вообще говоря, , ибо , а второй член этой суммы, вообще говоря, не равен нулю. Только для линейной функции  имеет место равенство  для любого . В частности, для , , т. е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой . Поэтому дифференциал произвольной функции  обычно записывают так:

,

откуда

,

т. е. произвольная функция  в точке  равна отношению дифференциала функции в этой точке к дифференциалу независимой переменной .

Это объясняет, что выражение  (дэ игрек по дэ икс) употребляется как символ для обозначения производной.

Надо иметь ввиду, что дифференциал  независимой переменной не зависит от , он равен  - произвольному приращению аргумента . Что же касается дифференциала  функции  (отличной от), то он зависит от  и .

Отметим формулы

,                                                 (3)

,                                               (4)

,                                (5)

,                                (6)

где предполагается, что  и  - дифференцируемые функции в рассматриваемой точке .

Например, формула (6) доказывается так:

.