§ 4.8. Другое определение касательной

В случае, когда производная  конечна, возможно дать другое, эквивалентное определение касательной.

Зададим произвольную прямую , , проходящую через точку  кривой : . Пусть  - другая точка кривой . Расстояние от  до  в направлении оси  равно

.                                           (1)

На рис. 48 .

Рис. 48

Прямая  называется касательной к  в точке , если

.                                                     (2)

Если прямая  есть касательная к  в точке  в смысле первого определения, то . Так как  дифференцируема, то

,

откуда

,

т. е. прямая  является касательной в смысле второго определения.

Обратно, пусть  является касательной в смысле второго определения. Тогда (см. (1) в (2))

,

или, что все равно,

.

Это показывает, что функция  дифференцируема в точке  и . Но тогда  есть касательная в смысле первого определения и ее уравнение имеет вид

.

З а м е ч а н и е . Из сказанного следует, что кривая  имеет касательную в точке  тогда и только тогда, когда функция дифференцируема в точке .