§ 4.9. Производная высшего порядка

Пусть на интервале  задана функция . Ее производная, если она существует  на интервале , есть некоторая функция . Мы ее будем еще называть первой производной. Но может случиться, что первая производная имеет в свою очередь производную на интервале . Эта последняя называется второй производной от  или производной от  второго порядка  и обозначается так:

   или    .

Вообще, производная от функции  порядка  называется первая производная от производной от  порядка  и обозначается так:

  или так:  .

Если речь идет об определенном фиксированном значении , то символ  обозначает производную -го порядка от  в точке . Для ее существования необходимо существование производной  не только в , но и в некоторой окрестности .

П р и м е р ы.

.  .

.  .

.   .

Если  натуральное, то, очевидно,  

.

. ,

,

 ……………………………………….

.

.   .

Однако далеко не для всякой функции удается найти общие формулы для их  - х производных.

У п р а ж н е н и е .  Используя метод математической индукции, доказать формулу (Лейбница) для производной -го порядка от произведения двух функций;

,

где  и  имеют производные до порядка  включительно.

.