§ 4.10. Дифференциал высшего порядка. Инвариантное свойство дифференциала первого порядка

Если на интервале  задана функция , то ее, очевидно, можно представить бесконечным числом способов как сложную функцию

.

Таким образом,  можно рассматривать как функцию от   и как функцию от  , где  в свою очередь есть функция от  .

Аргумент  мы будем называть независимым, подчеркивая этим, что на протяжении наших рассуждений  не будет рассматриваться как функция какой-то переменной. Аргумент же  будем называть зависимым (от !).

Дифференциал от функции  в точке  есть, как мы знаем, произведение производной от  в этой точке на дифференциал независимого переменного:

.

Здесь  есть произвольное число. Оно не зависит от . Это сказывается в том, что производная от  по  равна нулю:

.

Дифференциал от функции называют еще первым дифференциалом.

По определению вторым дифференциалом от функции  в точке  называется дифференциал от первого дифференциала в этой точке и обозначается так:

.

Чтобы вычислить второй дифференциал, надо взять производную по  от произведения , считая, что  есть постоянная (не зависящая от !), и результат помножить на :

.

Вообще, по определению дифференциалом порядка  функции  называется первый дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции  и обозначается через

.

Очевидно,

,                                       (1)

потому что эта формула верна при , а если допустить, что она верна для , то

.

Конечно, для существования дифференциала порядка  функции  в точке  необходимо, чтобы она имела производную  порядка  в этой точке.

В силу (1) имеем

,                                     (2)

т. е. производная -го порядка от функции  по независимой переменной  равна частному от деления -го дифференциала  на .

В дальнейшем мы узнаем, что формула (2) неверна, если в ней независимую переменную  заменить на зависимую  (см. далее (4)).

Мы определили дифференциалы первого и, вообще говоря, высшего порядка от функции , где есть независимая переменная. Но функцию , как это было отмечено выше, можно еще записать в виде

,

где  есть некоторая функция от  . Возникает вопрос, как выражаются введенные нами дифференциалы на языке (зависимой) переменной . Для первого дифференциала этот вопрос решается следующим образом:

.

Мы видим, что дифференциал функции  равен произведению ее производной  на :

  ,                                                           (3)

т. е. первый дифференциал функции  выражается по одной и той же формуле независимо от того, будет ли  рассматриваться как функция от независимой переменной  или от зависимой переменной .

Форма первого дифференциала (см. (3)) сохраняется, поэтому говорят, что первый дифференциал имеет инвариантную форму или еще имеет инвариантное свойство.

С дифференциалом высшего порядка дело обстоит уже не так. В самом деле, если рассматривать  как функцию от  , то получим (см. § 4.7, (4))

.                                   (4)

В последнем равенстве мы применили инвариантное свойство первого дифференциала, в силу которого . Кроме того, учтено что . Величиной , вообще говоря, нельзя пренебрегать, ведь она определяется равенством . Правая его часть равна нулю (для всех !) только, если  есть линейная функция .

Мы видим, что (выраженная через ) форма второго дифференциала не сохранилась – к числу  добавилось слагаемое ,  вообще говоря,  не равное нулю.