§ 1.4. Действительные числа

Понятия числа являются первичным и  основным в математике. Это понятие прошло длительный путь исторического развития. Множество натуральных чисел

появилось в связи со счетом предметов. Затем под влиянием потребностей практики и развития самой математики были введены целые числа

и рациональные числа

 где .

Для однозначности записи рационального числа будем считать, что дробь  не сократима, если не будет делаться оговорки на этот счет.

Введение рациональных чисел, однако, полностью не решило важной практической задачи об измерении отрезков. Ведь существует отрезок, длина которого не является рациональным числом. Примером может служить диагональ квадрата, сторона которого равна единице.

В связи с этим возникла необходимость введения, кроме рациональных чисел, и других чисел – иррациональных. Произвольные числа – рациональные или иррациональные  - называются действительными или вещественными. Множество действительных чисел обозначают через . Существуют различные способы введения (определения) действительных чисел. Мы остановимся на способе представления их в виде бесконечных десятичных дробей

.                              (1)

Здесь  - целое неотрицательное число,   при  - десятичные цифры. Таким образом,  может принимать только одно из значений  . Знак  часто в этих записях опускают.

Чтобы представить не равное нулю рациональное число  в виде десятичной дроби, производим процесс деления   на  по известному способу, которому нас учили в школе:

                              (2)

                Заметим, что если этот способ применить к другой записи дроби , то  получим тот же результат.

Полагаем

                          (3)

и правую часть (3) называем десятичным разложением числа .

Если знаменатель дроби имеет вид  , где ,  - целые неотрицательные числа, то процесс (2) заканчивается после конечного числа шагов и получается конечная десятичная дробь

.                               (4)

    Конечную десятичную дробь мы будем записывать также в виде бесконечной дроби:

                         (5)

         Но пользуются также и другой записью:

                            (5´)                                                                 

хотя она не возникает из процесса (2).

Итак, имеют место равенства

Дроби  и  могут служить примерами периодических дробей. Первая из них после цифры  имеет период 0, а вторая после цифры  имеет период  9.

Пусть теперь знаменатель несократимой дроби не имеет вид . Тогда процесс (2) бесконечный – на любом шаге возникает положительный остаток. Каждый остаток меньше  , и потому (после того, как цифры числа  снесены) уже среди первых  остатков, по крайней мере, два, равные между собой. Но, как только возникает остаток, который уже был прежде, процесс становится повторяющимся – периодическим. Поэтому, десятичное разложение произвольного рационального числа имеет вид

                         (6)                                                                      

Разложения (5) и (5´) можно рассматривать как частные случаи (6).

Примеры:

                              (7)

                                                                                                       

Разложение вида (6) называется бесконечной десятичной периодической дробью.

Итак, каждое не равное нулю рациональное число можно разложить с помощью процесса (2),  а в случае (4) и процесса (5) – в бесконечную периодическую дробь с периодом, отличным от 9. При этом можно доказать, что разным рациональным числам соответствуют разные бесконечные десятичные разложения. Но и обратно: любая бесконечная периодическая дробь (6), с периодом, отличным от 9, порождается при помощи указанных процессов (2), (5) некоторым рациональным числом, которое вычисляется по формуле

Здесь мы позволили себе через   и   обозначить целое число, записанное соответственно цифрами   и  .

Например,

Кроме периодических десятичных дробей, существуют непериодические, например ;  .

Вот еще пример: если извлекать корень квадратный из 2 по известному правилу, то получим определенную бесконечную непериодическую десятичную дробь . Она определена в том смысле, что любому натуральному числу  соответствует определенная цифра , стоящая на -м месте после запятой и однозначно вычисляемая согласно правилу извлечения квадратного корня.

Математический анализ дает много путей вычисления числа  с любой наперед заданной точностью. Это приводит к вполне определенному бесконечному десятичному разложению , которое, как оказывается, не является смешенной периодической десятичной дробью.

Дадим теперь определение иррационального числа, пока чисто формальное. Иррациональным числом называется произвольная бесконечная непериодическая дробь

                                   (8)                                                                                                    

где  - целое неотрицательное число, а    - цифры, знак же равенства  «=» выражает, что мы обозначили правую часть (8) через . Впрочем, удобно говорить, что правая часть (8) есть десятичное разложение числа .

Рациональные и иррациональные числа называются действительными (или вещественными) числами.

Из сказанного следует, что всякое не равное нулю действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби (8). Если оно рациональное, то его десятичное разложение есть бесконечная периодическая десятичная дробь. В противном случае, согласно нашему определению, выражение (8) само определяет иррациональное число.

Не равная нулю десятичная дробь может быть конечной, но она не определяет нового рационального числа: в силу соглашений, выраженных равенствами (5), (5´), она может быть заменена указанными в этих равенствах бесконечными периодическими дробями.

Число , где не все   равны нулю, положительно или отрицательно в зависимости от того, будет ли в (8) фигурировать  или ; при этом, как обычно,  будем опускать.

Число 0 тоже может быть записано бесконечной десятичной дробью одного из следующих видов:

.

Действительные числа определены пока формально, надо еще определить арифметические операции над ними, ввести понятие  и проверить, что эти операции и понятие согласуются с уже имеющимися соответствующими операциями и понятием  для рациональных чисел, а также удовлетворяют свойствам, которые мы предъявляем к числам.