§ 1.5. Определение равенства и неравенства

Зададим два числа ,  , определяемых бесконечными десятичными дробями, не имеющими период 9. Будем считать, что они равны между собой тогда и только тогда, когда их знаки одинаковы и 

.

Пусть  и  - положительные числа. По определению , или, что все равно,  , если   или, если найдется  такой индекс (целое неотрицательное число)  , что   и .

Подчеркнем, что если мы хотим сравнивать десятичные дроби, одна из которых имеет период 9, то ее надо заменить дробью с периодом 0 и затем уже применить указанные правила сравнения.

По определению  или , в зависимости от того, будет ли   положительным или отрицательным; далее, по определению , если , , или если  и .

Если , то по определению  и абсолютная величина . 

Таким образом,

Как мы знаем из школьного курса математики, между действительными числами и точкой некоторой прямой можно установить взаимно однозначное соответствие  по следующему правилу. Числу 0 приводится в соответствие произвольная точка  на прямой, называемая нулевой точкой, и наоборот. Длина некоторого отрезка принимается за единицу. Каждому действительному числу  приводится в соответствие точка прямой, отстоящая от нулевой точки на расстоянии, равном , справа от точки  для числа  и слева от точки  для числа  (рис. 5). Наоборот, если  - произвольная точка прямой, находящаяся на расстоянии справа от 0, то считают, что она соответствует действительному числу  (бесконечной десятичной дроби). Если же точка  находится слева от точки , то она соответствует числу .

Рис. 5

Рассматриваемую прямую будем называть числовой прямой или действительной осью. В дальнейшем точки числовой прямой будем отождествлять с действительными числами, которые им соответствуют, т. е. сами точки будем называть соответствующими числами. Отметим, что расстояние между точками  и  равно  (определение разности  см. § 1.6).