§ 4.23. Вектор-функция. Векторы касательной и нормали

В плоскости зададим прямоугольную систему координат . Уравнения

,                                        (1)

где  и  - непрерывные функции на интервале  определяют непрерывную кривую  - геометрическое множество точек  плоскости, где . Говорят еще, что кривая  задана при помощи параметра . Ее уравнение можно задать в векторной форме

,                   (1’)

где ,  - единичные орты соответственно осей , , а  - радиус-вектор точки , соответствующей значению  параметра (рис. 68).

Вектор  называют вектор-функцией (определенной для ).

Говорят в связи с этим, что кривая  есть годограф вектор-функции  - геометрическое место концов векторов , выходящих из нулевой точки .

Рис. 68                                          Рис. 69

Кривая  называется гладкой на , если функции  и  имеют непрерывные производные на , одновременно не равные нулю.

Если  придать приращение , то вектор  получит приращение (рис. 69)

,

откуда, деля на скаляр , получим

.

Для гладкой кривой

.

Вектор  называют производной от  (в точке ) и записывают так:

.

Можно производную  определить также как такой вектор, для которого

.

В самом деле,

.

Пишут

и говорят, что вектор  есть предел вектора  при . Из рис. 69 видно, что вектор  направлен по касательной к  в точке  в сторону возрастания .

Вектор  называют вектором касательной к . Длина его равна

.

Единичный вектор касательной есть

,

       (2)

где  - угол между  и положительным направлением оси .

Единичный вектор нормали к , т. е. единичный вектор перпендикулярный к , определяется равенством

        (3)

или

.      ()

Определитель

.

Верхние знаки соответствуют случаю, когда пара векторов  ориентирована так же, как оси  (рис. 70), а нижние – когда пара  ориентирована противоположным образом (рис. 71).

Рис. 70                                               Рис. 71

Вторая производная от вектор-функции  (см. (1’)) определяется как предел

.

На рис. 72 изображена кривая ; точка  соответствует значению , а точка  - значению .   К этим точкам приложены касательные векторы  и .   Второй вектор мы перенесли так, чтобы он был приложен к точке . На рисунке обозначена разность  и вектор , имеющий то же направление, что и .  Наконец, отмечен предельный вектор . Вектор  направлен в сторону вогнутости . Точно эти слова надо понимать следующим образом: вектор   образует острый угол с вектором  нормали к , направленной в сторону вогнутости . 

Рис. 72

П р и м е р. В векторной форме уравнение (см. § 4.21) эллипса имеет вид

.

Соответственно вектор касательной

,

а вектор нормали

.

В данном случае , вообще говоря, не единичный вектор.

Вектор-функцию  в окрестности точки  можно разложить по формуле Тейлора (или разложить в векторный ряд Тейлора). Пусть

,

где  и  имеют необходимое число производных в окрестности точки . Тогда, разлагая эти функции по формуле Тейлора, получаем

,    (4)

,   (5)

где ,  - остаточные члены в какой-либо форме (Лагранжа, Коши и т. д.). Умножая (4) на , а (5) на  и складывая, получим формулу Тейлора для вектор-функции :

,

где остаток

.

Отметим, что если остатки  и  записываются в форме Лагранжа или Коши, то входящие в них производные -го порядка функций  и  вычисляются, вообще говоря, в разных точках.