§ 4.23. Вектор-функция. Векторы касательной и нормали

В плоскости зададим прямоугольную систему координат . Уравнения

, (1)

где и - непрерывные функции на интервале определяют непрерывную кривую - геометрическое множество точек плоскости, где . Говорят еще, что кривая задана при помощи параметра . Ее уравнение можно задать в векторной форме

, (1’)

где , - единичные орты соответственно осей , , а - радиус-вектор точки , соответствующей значению параметра (рис. 68).

Вектор называют вектор-функцией (определенной для ).

Говорят в связи с этим, что кривая есть годограф вектор-функции - геометрическое место концов векторов , выходящих из нулевой точки .

Рис. 68 Рис. 69

Кривая называется гладкой на , если функции и имеют непрерывные производные на , одновременно не равные нулю.

Если придать приращение , то вектор получит приращение (рис. 69)

откуда, деля на скаляр , получим

Для гладкой кривой

Вектор называют производной от (в точке ) и записывают так:

Можно производную определить также как такой вектор, для которого

В самом деле,

Пишут

и говорят, что вектор есть предел вектора при . Из рис. 69 видно, что вектор направлен по касательной к в точке в сторону возрастания .

Вектор называют вектором касательной к . Длина его равна

Единичный вектор касательной есть

(2)

где - угол между и положительным направлением оси .

Единичный вектор нормали к , т. е. единичный вектор перпендикулярный к , определяется равенством

(3)

или

. ()

Определитель

Верхние знаки соответствуют случаю, когда пара векторов ориентирована так же, как оси (рис. 70), а нижние – когда пара ориентирована противоположным образом (рис. 71).

Рис. 70 Рис. 71

Вторая производная от вектор-функции (см. (1’)) определяется как предел

На рис. 72 изображена кривая ; точка соответствует значению , а точка - значению . К этим точкам приложены касательные векторы и . Второй вектор мы перенесли так, чтобы он был приложен к точке . На рисунке обозначена разность и вектор , имеющий то же направление, что и . Наконец, отмечен предельный вектор . Вектор направлен в сторону вогнутости . Точно эти слова надо понимать следующим образом: вектор образует острый угол с вектором нормали к , направленной в сторону вогнутости .

Рис. 72

П р и м е р. В векторной форме уравнение (см. § 4.21) эллипса имеет вид

Соответственно вектор касательной

а вектор нормали

В данном случае , вообще говоря, не единичный вектор.

Вектор-функцию в окрестности точки можно разложить по формуле Тейлора (или разложить в векторный ряд Тейлора). Пусть

где и имеют необходимое число производных в окрестности точки . Тогда, разлагая эти функции по формуле Тейлора, получаем

, (4)

, (5)

где , - остаточные члены в какой-либо форме (Лагранжа, Коши и т. д.). Умножая (4) на , а (5) на и складывая, получим формулу Тейлора для вектор-функции :

где остаток

Отметим, что если остатки и записываются в форме Лагранжа или Коши, то входящие в них производные -го порядка функций и вычисляются, вообще говоря, в разных точках.