§ 4.22. Схема построения графика функции

Если нужно в общих чертах представить себе график функции , могут помочь следующие указания.

1. Найти область  значений , где функция  определена.

2. Найти точки , где  или производная не существует, в частности равна . Вычислить значения  в этих точках: , если они существуют, и определить, не являются ли они точками максимума, минимума. Если  не определена в какой-либо из точек , то важно знать пределы , , важно также определить пределы

,

если они имеют смысл.

3. Область  разделяется точками  на интервалы , на каждом из которых . Среди них могут быть бесконечные интервалы (вида  или ).

Будем считать, что производная  непрерывна на каждом таком интервале  . Тогда  на  сохраняет знак. Важно выяснить этот знак, тогда будет известно, будет ли  возрастать или убывать на .

4. Важно отметить на каждом интервале  точки

,

где , и определить соответствующие значения функции

.

В этих точках могут быть точки перегиба кривой . Эти точки в свою очередь делят  на интервалы, на которых вторая производная, если она существует, сохраняет знак.

Выяснение знака  дает возможность узнать направление выпуклости кривой (вверх или вниз).

5. Если возможно, надо решить уравнение  и выяснить интервалы, на которых  сохраняет знак ( или ).

6. Выяснить вопрос о существовании асимптот, т. е. найти пределы

,

если они существуют.

На основе этих сведений желательно составить таблицу, примерно следующего вида:

	возрастает,   асимптота		убывает	вертикальная асимптота	убывает		возрастает,   асимптота
	выпукла кверху		выпукла кверху		выпукла книзу		выпукла книзу

Эта таблица составлена для функции .

На основании данных этой таблицы график функции  имеет вид, как на рис. 64.

Рис. 64

П р и м е р. Построить кривую, заданную параметрически:

.                                  (1)

Р е ш е н и е. Построим сначала график функции . Эта функция задана на всей оси, не ограниченная, непрерывная и дифференцируемая на ;  при ;  при ;  при . Далее . Уравнение  имеет единственный корень . При этом, очевидно,  при ;  при . Таким образом, функция  возрастает при  и убывает при . В точке  функция  имеет локальный минимум, . На самом деле это, очевидно, минимум на .

Исследуем функцию на выпуклость: ;  при ;  при ; . Значит, на  график выпуклый кверху, а на  выпуклый книзу,  - точка перегиба.

Далее,

,

т. е.  - горизонтальная асимптота.

На основании этого график функции имеет вид как на рис. 65. Область значений функции .

Рис. 65                                        Рис. 66

Совершенно аналогично можно построить график функции  (рис. 66). Область значений этой функции . На  функция  строго возрастает от

 до  в точке   достигает максимума (локального и на ). На интервале  она строго убывает к нулю при  и имеет, таким образом, асимптоту  при . Отмечена еще точка , в которой кривая имеет перегиб. На  кривая обращена выпуклостью кверху и на   - книзу.

Теперь мы переходим к более трудной задаче – начертить схематический график кривой (1). Обозначим ее через . Функции, определяющие , непрерывно дифференцируемы  сколько угодно раз. Мы используем только тот факт, что эти функции дважды непрерывно дифференцируемы. Отметим, что  гладкая кривая, потому что производные (по ) от функций  и  одновременно не равны нулю.

Обозначим через  и  ветви , на которых соответственно  и . Таким образом, (см. рис. 65 и 66),

 соответствует изменению ,

соответствует изменению .

На  функция  строго убывает от  до , и ее можно обратить, а функция  строго возрастает от  до . Отсюда следует, что ветвь  описывается явной функцией

.

Она изображена на рис. 67 – ниже точки . Когда  возрастает от  до , абсцисса  точки  убывает от  до , а ордината  возрастает от  до . Так как  и , то касательная в точке  параллельна оси . К тому же  расположена правее касательной – ведь из рис. 65 видно, что все точки  имеют абсциссу .

Рис. 67

В любой точке  кривой , отличной от , т. е. при  производная  и

,                                                 (2)

.               (3)

Отсюда

.                                                        (4)

Нас сейчас интересует значение , которому соответствует точка .

Из (3) видно, что если  (т. е. на части  ниже точки ), то  и  обращена выпуклостью кверху. Если же  (т. е. на дуге ), то  и  обращена выпуклостью книзу. Таким образом,  есть точка перегиба .

Переходим теперь к  (). Как видно из рис. 65 и 66, на интервале  функции  и  строго возрастают, но тогда и функция от

строго возрастает. К тому же ее график на этом интервале обращен выпуклостью кверху (см. (3)). Это изображено дугой . Что же касается точки , то в ней  , и так как в ней к тому же график  обращен выпуклостью кверху, то  есть точка локального максимума функции . При  (т. е. )  возрастает, а  убывает к нулю. Это показывает, что  убывая. При этом  - точка перегиба графика . Слева от этой точки график обращен выпуклостью кверху, а справа – книзу (см. (3)).