Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 4.21. Непрерывная и гладкая кривая

Уравнения

,                                   (1)

где  и  - непрерывные функции на , определяют непрерывную кривую, заданную при помощи параметра , т. е. геометрическое место точек , упорядоченных при помощи параметра . При возрастании  точка  движется по плоскости. Не исключено, что разным   - соответствует одна и та же точка плоскости: .

Непрерывная кривая (1) называется гладкой на  , если функции  и  имеют непрерывную производную на ,  и выполняется неравенство

.        (2)

Обозначим кривую (1) через . Пусть . В силу условия (2) одно из чисел ,  отлично от нуля. Пусть для опреленности . Но тогда в силу непрерывности  существует интервал , на котором  сохраняет знак . Следовательно,  строго монотонна на  и, кроме того, как мы знаем, непрерывно дифференцируема. В таком случае функция  имеет обратную

,                         (3)

строго монотонную и непрерывно дифференцируемую на некотором интервале  - окрестности точки .

Подставляя выражение для  во второе уравнение (1), получим, что кусок  нашей кривой , соответствующий интервалу , описывается непрерывно дифференцируемой функцией (см. § 4.4, теорема 1)

,            (4)

и потому в любой точке  существует касательная, не параллельная оси . Очевидно, точки  взаимно однозначно проектируются на ось .

Если теперь , то, рассуждая аналогично, получим, что кусок  кривой , соответствующий достаточно малому интервалу , описывается непрерывно дифференцируемой функцией

.           (5)

Отсюда следует, что и в этом случае в любой точке  существует касательная, но теперь она не параллельна оси .

Таким образом, в любой точке гладкой кривой  существует касательная, которая может быть параллельной одной из осей координат.

П р и м е р. Уравнения

определяют в параметрической форме кривую – эллипс с полуосями  и  (рис. 63).

Рис. 63

Это гладкая кривая, потому что функции  и  имеют непрерывные производные, одновременно не равные нулю:

.

Точки  (см. рис. 63)  делят эллипс на четыре гладких куска, каждый из них проектируется взаимно однозначно либо на ось , либо на ось .

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>