§ 4.21. Непрерывная и гладкая кривая
Уравнения
, (1)
где
и
- непрерывные функции на
, определяют непрерывную кривую, заданную при помощи параметра
, т. е. геометрическое место точек
, упорядоченных при помощи параметра
. При возрастании
точка
движется по плоскости. Не исключено, что разным
- соответствует одна и та же точка плоскости:
.
Непрерывная кривая (1) называется гладкой на
, если функции
и
имеют непрерывную производную на 
, и выполняется неравенство
. (2)
Обозначим кривую (1) через
. Пусть
. В силу условия (2) одно из чисел
,
отлично от нуля. Пусть для опреленности
. Но тогда в силу непрерывности
существует интервал
, на котором
сохраняет знак
. Следовательно,
строго монотонна на
и, кроме того, как мы знаем, непрерывно дифференцируема. В таком случае функция
имеет обратную
, (3)
строго монотонную и непрерывно дифференцируемую на некотором интервале
- окрестности точки
.
Подставляя выражение для
во второе уравнение (1), получим, что кусок
нашей кривой
, соответствующий интервалу
, описывается непрерывно дифференцируемой функцией (см. § 4.4, теорема 1)
, (4)
и потому в любой точке
существует касательная, не параллельная оси
. Очевидно, точки
взаимно однозначно проектируются на ось
.
Если теперь
, то, рассуждая аналогично, получим, что кусок
кривой
, соответствующий достаточно малому интервалу
, описывается непрерывно дифференцируемой функцией
. (5)
Отсюда следует, что и в этом случае в любой точке
существует касательная, но теперь она не параллельна оси
.
Таким образом, в любой точке гладкой кривой
существует касательная, которая может быть параллельной одной из осей координат.
П р и м е р. Уравнения

определяют в параметрической форме кривую – эллипс с полуосями
и
(рис. 63).

Рис. 63
Это гладкая кривая, потому что функции
и
имеют непрерывные производные, одновременно не равные нулю:

.
Точки
(см. рис. 63) делят эллипс на четыре гладких куска, каждый из них проектируется взаимно однозначно либо на ось
, либо на ось
.