§ 4.21. Непрерывная и гладкая кривая

Уравнения

, (1)

где и - непрерывные функции на , определяют непрерывную кривую, заданную при помощи параметра , т. е. геометрическое место точек , упорядоченных при помощи параметра . При возрастании точка движется по плоскости. Не исключено, что разным - соответствует одна и та же точка плоскости: .

Непрерывная кривая (1) называется гладкой на , если функции и имеют непрерывную производную на , и выполняется неравенство

. (2)

Обозначим кривую (1) через . Пусть . В силу условия (2) одно из чисел , отлично от нуля. Пусть для опреленности . Но тогда в силу непрерывности существует интервал , на котором сохраняет знак . Следовательно, строго монотонна на и, кроме того, как мы знаем, непрерывно дифференцируема. В таком случае функция имеет обратную

, (3)

строго монотонную и непрерывно дифференцируемую на некотором интервале - окрестности точки .

Подставляя выражение для во второе уравнение (1), получим, что кусок нашей кривой , соответствующий интервалу , описывается непрерывно дифференцируемой функцией (см. § 4.4, теорема 1)

, (4)

и потому в любой точке существует касательная, не параллельная оси . Очевидно, точки взаимно однозначно проектируются на ось .

Если теперь , то, рассуждая аналогично, получим, что кусок кривой , соответствующий достаточно малому интервалу , описывается непрерывно дифференцируемой функцией

. (5)

Отсюда следует, что и в этом случае в любой точке существует касательная, но теперь она не параллельна оси .

Таким образом, в любой точке гладкой кривой существует касательная, которая может быть параллельной одной из осей координат.

П р и м е р. Уравнения

определяют в параметрической форме кривую – эллипс с полуосями и (рис. 63).

Рис. 63

Это гладкая кривая, потому что функции и имеют непрерывные производные, одновременно не равные нулю:

Точки (см. рис. 63) делят эллипс на четыре гладких куска, каждый из них проектируется взаимно однозначно либо на ось , либо на ось .