§ 4.20. Асимптота графика функции

Говорят, что прямая  является вертикальной асимптотой графика непрерывной функции , если хотя бы один из пределов

равен .

Если функция  задана для , то говорят, что прямая  является наклонной асимптотой непрерывной кривой  при , если , где , т. е.  - бесконечно малая функция при .

П р и м е р   1.   (рис. 60);  - вертикальная асимптота, так как

.

П р и м е р   2. . Так как , то прямая  (рис. 61) есть наклонная асимптота при  (и при ).

П р и м е р   3. . Ясно, что  не стремится к нулю при  ни при каких  и , значит, функция  наклонных асимптот не имеет.

Рис. 60                                                Рис. 61

Т е о р е м а. Для того чтобы график функции  имел при   наклонную асимптому, необходитмо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

,             (1)

и тогда прямая  есть асимптома.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1)  Пусть функция  имеет наклонную асимптому при , . Тогда , где , . Отсюда

,

.

2) Пусть указанные в теореме пределы при  существуют, тогда из второго равенства, по определению предела, имеем

,    где   при ,

т. е. . Значит, прямая  - наклонная асимптома при . Такое же рассуждение и при .

Если , то асимптома называется горизонтальной.

З а м е ч а н и е. Существование двух конечных пределов (1) существенно, ибо для функции , , но , т. е. , и эта функция асимптот не имеет.

Можно дать также следующее эквивалентное определение наклонной асимптоты.

Если расстояние  от точки  непрерывной кривой  до прямой  стремится к нулю при , то данная прямая называется наклонной асимптотой этой кривой при .

В самом деле, из аналитической геометрии известно, что расстояние от точки  до прямой  выражается формулой

,

откуда из того, что , следует, что , и наоборот.

П р и м е р   4. Выяснить, имеются ли асимптоты у гиперболы

.

Разрешая данное уравнение относительно , будем иметь

.

Отсюда

.

Далее,

.

Таким образом, на основании доказанной теоремы,  прямые

являются асимптотами нашей гиперболы, причем знак  относится к правой верхней половине гиперболы, а знак  относится к правой нижней половине гиперболы.

Рис. 62

В силу симметрии ясно, что эти прямые являются асимптотами и при . В этом случае знак  отвечает части гиперболы, находящейся в третьей четверти, а знак  относится к части гиперболы, находящейся во второй четверти (рис. 62).