§ 4.20. Асимптота графика функции
Говорят, что прямая
является вертикальной асимптотой графика непрерывной функции
, если хотя бы один из пределов

равен
.
Если функция
задана для
, то говорят, что прямая
является наклонной асимптотой непрерывной кривой
при
, если
, где
, т. е.
- бесконечно малая функция при
.
П р и м е р 1.
(рис. 60);
- вертикальная асимптота, так как
.
П р и м е р 2.
. Так как
, то прямая
(рис. 61) есть наклонная асимптота при
(и при
).
П р и м е р 3.
. Ясно, что
не стремится к нулю при
ни при каких
и
, значит, функция
наклонных асимптот не имеет.

Рис. 60 Рис. 61
Т е о р е м а. Для того чтобы график функции
имел при
наклонную асимптому, необходитмо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы
, (1)
и тогда прямая
есть асимптома.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть функция
имеет наклонную асимптому при
,
. Тогда
, где
,
. Отсюда
,
.
2) Пусть указанные в теореме пределы при
существуют, тогда из второго равенства, по определению предела, имеем
, где
при
,
т. е.
. Значит, прямая
- наклонная асимптома при
. Такое же рассуждение и при
.
Если
, то асимптома называется горизонтальной.
З а м е ч а н и е. Существование двух конечных пределов (1) существенно, ибо для функции
,
, но
, т. е.
, и эта функция асимптот не имеет.
Можно дать также следующее эквивалентное определение наклонной асимптоты.
Если расстояние
от точки
непрерывной кривой
до прямой
стремится к нулю при
, то данная прямая называется наклонной асимптотой этой кривой при
.
В самом деле, из аналитической геометрии известно, что расстояние от точки
до прямой
выражается формулой
,
откуда из того, что
, следует, что
, и наоборот.
П р и м е р 4. Выяснить, имеются ли асимптоты у гиперболы
.
Разрешая данное уравнение относительно
, будем иметь
.
Отсюда
.
Далее,

.
Таким образом, на основании доказанной теоремы, прямые

являются асимптотами нашей гиперболы, причем знак
относится к правой верхней половине гиперболы, а знак
относится к правой нижней половине гиперболы.

Рис. 62
В силу симметрии ясно, что эти прямые являются асимптотами и при
. В этом случае знак
отвечает части гиперболы, находящейся в третьей четверти, а знак
относится к части гиперболы, находящейся во второй четверти (рис. 62).