§ 4.19. Выпуклость кривой. Точка перегиба
Говорят, что кривая
обращена в точке
выпуклостью кверху (книзу), если существует окрестность
такая, что для всех точек этой окрестности касательная к кривой в точке
(т. е. в точке, имеющей абсциссу
) расположена выше (ниже) самой кривой (на рис. 55 в точке
кривая обращена выпуклостью книзу, в точке
- кверху). Вместо слов «выпукла кверху (книзу)» употребляются слова «вогнута книзу (кверху)».
Говорят, что точка
есть точка перегиба кривой
, если при переходе
через
точка кривой (имеющая абсциссу
) переходит с одной стороны касательной на другую (на рис. 55 точка
- точка перегиба). Иначе говоря, существует достаточно малое
такое, что для всех
кривая находится с одной стороны касательной в
, а для всех
- с другой.

Рис. 55
Указанные определения выделяют возможные расположения кривой относительно касательной к ней в достаточно малой окрестности точки касания. Но не нужно думать, что эти определения исчерпывают все возможные случаи такого расположения. Для функции

ось
пересекает и касается графика функции в точке
и
не есть точка перегиба.
Т е о р е м а 1. Если функция
имеет в точке
вторую непрерывную производную и
, то кривая
обращена в
выпуклостью книзу (кверху.)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Разлагаем
в окрестности
по формуле Тейлора
,
.
Запишем уравнение касательной к нашей кривой в точке, имеющей абсциссу
:
.
Тогда превышение кривой
над касательной к ней в точке
равно
.
Таким образом, остаток
равен величине превышения кривой
над касательной к ней в точке
. В силу непрерывности
, если
, то и
для
, принадлежащих достаточно малой окрестности точки
, а потому, очевидно, и
для любого отличного от
значения
, принадлежащего к указанной окрестности.
Значит, график функции лежит выше касательной, и кривая обращена в точке
выпуклостью книзу.
Аналогично, если
, то
для любого отличного от
значения
, принадлежащего к некоторой окрестности точки
, т. е. график функции лежит ниже касательной и кривая обращена в
выпуклостью кверху.
С л е д с т в и е. Если
есть точка перегиба кривой
и в ней существует вторая производная
, то последняя необходимо равна нулю
.
Этим пользуются на практике: при нахождении точек перегиба дважды дифференцируемой кривой
, ищут их среди корней уравнения
.
Достаточное условие для существования точки перегиба у кривой дается следующей теоремой.
Т е о р е м а 2. Если функция
такова, что производная
непрерывна в
, а
и
, то кривая
имеет в точке
точку перегиба.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В этом случае
,
.
В силу непрерывности
в
и того факта, что
, следует, что
сохраняет знак в некоторой окрестности точки
; он один и тот же справа и слева от точки
. С другой стороны, множитель
меняет знак при переходе
через
, а вместе с ним и величина
(равная превышению точки кривой над касательной в
) меняет знак при переходе
через
. Это доказывает теорему.
Сформулируем более общую теорему:
Т е о р е м а 3. Пусть функция
обладает следующими свойствами:
,
непрерывна в окрестности
и
.
Тогда, если
- нечетное число, то кривая
обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли
или
, а если
- четное, то
есть точка перегиба кривой.
Доказательство основано на том, что при указанных условиях имеет место разложение по формуле Тейлора
.
В заключение заметим, что говорят также, что кривая
имеет точку перегиба в точке
, где производная
равна
или
(см. рис. 40 и 41 § 4.2).
По определению кривая
называется выпуклой кверху (книзу) на отрезке
, если любая дуга этой кривой с концами в точках с абсциссами
,
расположена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды (рис. 56 и 57).
З а м е ч а н и е. Если
дифференцируема на
, то приведенное определение выпуклости на отрезке эквивалентно следующему: кривая
называется выпуклой кверху (книзу) на отрезке
, если она выпукла кверху (книзу) в каждой точке
интервала
.

Рис. 56 Рис. 57
Т е о р е м а 4. Пусть функция
непрерывна на
и имеет вторую производную на
.
Для того чтобы кривая
была выпуклой кверху (книзу) на
, необходитмо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
для всех
.
Эту теорему мы не будем доказывать.
П р и м е р 1. Функция
имеет непрерывную первую производную и вторую производную
на
. Поэтому хорда
, стягивающая дугу кривой
на
, ниже синусоиды (рис. 58). Так как уравнение хорды
, то мы получили неравенство
,
часто употребляемое в математическом анализе.

Рис. 58 Рис.59
П р и м е р 2. 
при
при
. Так как
, то в точке
- перегиб. Далее
при
,
при
. Значит, график функции (рис. 59) выпуклый кверху на
и выпуклый книзу на
;
- точка минимума,
- точка максимума.