§ 4.18. Экстремальные значения функции на отрезке

Пусть надо найти максимум (минимум) функции ,  непрерывный на отрезке . Тот факт, что  достигает максимума (минимума) на  в некоторой точке , доказан в теореме 2 § 3.5.

Могут быть только три возможности: 1)  ,  2)  , 3)  .

Если , то, согласно сказанному в предыдущем § 4.17, точка  будет точкой локального экстремума, и ее следует искать либо среди стационарных точек, либо среди точек, где производная не существует.

Если указанные точки образуют конечное множество , то

.

Отметим, что нет необходимости выяснять характер стационарных точек, если мы поставили себе только задачу найти максимум (минимум) функции  на .

П р и м е р   1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

.

Находим производную: . Приравниваем ее нулю:

.

Это уравнение имеет на отрезке  единственное решение . Так как , то

.

П р и м е р  2. Пусть электрическая лампа может передвигаться по вертикали  (оси ). На плоскости, перпендикулярной , возьмем точку  (на оси ). На какой высоте надо подвесить лампу, чтобы в точке  была наилучшая освещенность (рис. 54).

Рис. 54

Р е ш е н и е.  Поместим лампу в точку , и пусть , . Известно, что освещенность   в точке  определяется по закону , где  - коэффициент пропорциональности. Примем  за аргумент функции . Так как , , то .

По смыслу задачи . Найдем наибольшее значение этой функции. .

Далее

   при   .

Так как , то наибольшее значение функция  принимает в точке . Таким образом, лампу надо подвесить на высоте .