§ 4.17. Локальный экстремум функции

Определение локального экстремума было дано в начале § 4.12. Очевидно, ему можно придать и следующую форму.

Функция достигает в точке локального максимума (минимума), если можно указать такое , что ее приращение в точке удовлетворяет неравенству

(соответственно ).

По теореме Ферма (см. § 4.12), если функция достигает в точке локального экстремума и в этой точке производная существует, то она равна нулю:

По определению точка называется стационарной для функции , если в ней производная от существует и равна нулю .

Если задана на некотором интервале функция , и надо найти все ее точки локального экстремума, то их, очевидно, надо искать среди, во-первых, стационарных точек, т. е. таких, в которых производная существует и равна нулю и, во-вторых, среди точек, где не имеет производной, если таковые на самом деле имеются. Стационарные точки находятся из уравнения

, (1)

которое надо решить. Конечно, не всякая стационарная точка функции есть точка локального экстремума .

Условие (1) является необходимым для того, чтобы дифференцируемая функция имела в точке локальный экстремум, но недостаточным. Например, есть стационарная точка функции , но в ней эта функция возрастает.

Очевидно также, что не всякая точка, где не имеет производной, есть точка локального экстремума .

Так или иначе, если нам уже известно, что есть стационарная точка или точка, где производная от не существует, нам нужны критерии распознавания, будет ли действительно эта точка точкой локального экстремума, а если будет, то какого – максимума или минимума.

Ниже мы приводим достаточные критерии локального экстремума.

Т е о р е м а 1. Пусть - стационарная точка функции (т. е. ) и имеет вторую непрерывную производную в окрестности . Тогда:

если , то есть точка локального максимума ;

если же , то есть точка локального минимума .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Разложим по формуле Тейлора по степеням при . Так как , то формула Тейлора функции в окрестности точки имеет вид

. (2)

В этой формуле может быть .

Пусть . Так как производная по условию непрерывна в окрестности , то найдется такое, что

Но тогда остаточный член в формуле (2)

что показывает, что

т. е. имеет в локальный максимум.

Аналогично, если , то в некоторой окрестности и . Поэтому остаточный член формулы (2) в окрестности неотрицательный, а вместе с ним и , т. е. имеет в локальный минимум.

П р и м е р 1. - стационарная точка; для всех , следовательно, и в точке . Значит, в точке - локальный минимум.

З а м е ч а н и е 1. Если

, (3)

то функция может иметь и не иметь экстремум в . Например, функции и удовлетворяют условиям (3) в точке , но первая из них не имеет экстремума в этой точке, а вторая – имеет, а именно, минимум.

Т е о р е м а 2. Пусть и , и непрерывна в окрестности точки , тогда:

если - четное и , то имеет в локальный максимум;

если - четное и , то имеет в локальный минимум;

если - нечетное и , то заведомо не имеет в локального экстремума.

Доказательство этой теоремы снова основано на применении формулы Тейлора. Имеем

. (4)

В случае, если - четное, рассуждаем в точности так же, как в случае формулы (2). Пусть теперь - нечетное, и пусть, как было предположено, . Вследствие непрерывности в окрестности существует интервал , на котором сохраняет знак . Если будет возрастать в окрестности слева направо, то при переходе через переменит знак, а будет сохранять один и тот же знак. Это показывает, что правая часть (4) и, следовательно, при переходе через меняет знак и экстремум в невозможен.

Т е о р е м а 3. Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет производную отдельно на интервалах и . При этом

, (5)

. (6)

Тогда есть точка локального максимума (минимума) функции .

Здесь не обязательно предполагается, что существует.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из непрерывности на отрезке и свойства (5) следует (см. теорему 5 § 4.12), что не убывает (не возрастает) на этом отрезке и, следовательно,

. (7)

А из непрерывности на и свойства (6) следует (см. ту же теорему 5 § 4.12)

. (8)

Но тогда из (7) и (8) следует:

и мы доказали теорему 3.

Теорема 3 утверждает, что если первая производная функции при переходе через точку меняет знак, то имеет в точке минимум (рис. 52), если знак меняется (при возрастании !) с на , и максимум (рис. 53), если он меняется с на . При этом не обязательно, чтобы существовала. Но требуется, чтобы была непрерывна в точке .

Рис. 52 Рис. 53

П р и м е р 2. Мы видим, что при , при , и, кроме того, непрерывна в точке , поэтому по теореме 3 функция имеет локальный максимум в точке . Других локальных экстремумов функция не имеет.

П р и м е р 3. Функция , , непрерывна в точке и имеет локальный максимум: , . Однако нельзя выделить окрестность точки так, чтобы в ней при функция возрастала, а при убывала.

В самом деле,

При малых слагаемое как угодно мало, поэтому знак производной зависит от . При принимает значения сколько угодно раз. Значит, во всякой окрестности точки функция колеблющаяся.

Т е о р е м а 4. Пусть функция удовлетворяет условиям и . Тогда в точке имеет локальный минимум (максимум).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как

то на основании теоремы 2 § 3.2 в достаточно малой окрестности точки , т. е. для и для . По теореме 3 заключаем, что в точке локальный минимум. Случай исследуется аналогично.

З а м е ч а н и е 1. Теорема 4 содержит в себе теорему 1 как частный случай, потому что в ней не предполагается, что непрерывна в окрестности точки . Требуется лишь существование .