§ 4.16. Формулы и ряды Тейлора элементарных функций

1. . Эта функция бесконечно дифференцируема (имеет производные любого порядка) на ). При этом

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

, (1)

где может быть положительным и отрицательным. На отрезке , ,

. (2)

Это показывает (см. теорему 1 § 4.15), что функция разлагается на в сходящийся ряд Тейлора по степеням (ряд Маклорена):

. (3)

Но - произвольное число, поэтому это равенство имеет место на всей действительной оси . В данном случае на отрезке , и чтобы получить равенство (3), можно было бы воспользоваться теоремой 2 § 4.15.

Вычислим число с точностью до 0,001. Имеем (см. (1))

(4)

где

. (5)

Надо подобрать настолько большим, чтобы

Так как , то для этого достаточно решить неравенство . Оно выполняется при . Следовательно,

с точностью до 0,001.

П р и м е ч а н и е . Так как при , то при , где . Поэтому равенство (4) можно записать в следующем виде:

Эта формула была использована (в § 2.6, формула (3)) для доказательства иррациональности числа .

2. . Данная функция имеет производную любого порядка и

Поэтому по теореме 2 § 4.15 функция разлагается в сходящийся к ней на ряд Тейлора по степеням :

Надо учесть, что

Формула Тейлора функции по степеням имеет вид

, (6)

где

Отсюда следует, что

3. . Совершенно аналогично можно получить, что

П р и м е р 1. Найти .

Имеем

, (7)

поэтому

т. е.

На самом деле в (7) остаток имеет вид . Но для наших целей достаточно . Надо иметь в виду, что если некоторая функция от есть , то она есть также (но вообще не наоборот!).

4. Функция определена и сколько угодно раз дифференцируема для . Поэтому для нее формулу Тейлора можно написать для любого при . Так как

то формула Тейлора имеет вид

Используя формы Лагранжа и Коши остаточного члена, можно показать, что

В самом деле, используя форму Лагранжа остаточного члена, имеем для :

;

используя форму Коши остаточного члена (см. § 4.14, (10)), имеем для :

Поэтому функция разлагается в указанном промежутке в ряд Тейлора по степеням :

5. Функция . Для этой функции

Формула Тейлора по степеням имеет вид

Можно доказать, что при любом

Поэтому для любого действительного имеет место разложение функции в ряд Тейлора по степеням

. (8)

Если натуральное, то функция есть многочлен. В этом случае для , и ряд справа в (8) представляет собой конечную сумму – многочлен Тейлора (см. § 4.14).

При исследование поведения остаточного члена (в форме Коши или Лагранжа) требует больших усилий. Отметим лишь, что при ряд Тейлора (8) сходится при , а при для .

Приведем частные случаи ряда (8) при ; :

- обыкновенная геометрическая прогрессия, расходящаяся при ;

здесь ряд справа сходится при .

П р и м е р 2. Вычислить предел

П р и м е р 3.