Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 4.16. Формулы и ряды Тейлора элементарных функций

1. . Эта функция бесконечно дифференцируема (имеет производные любого порядка) на ). При этом

.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

,          (1)

где  может быть положительным и отрицательным. На отрезке , ,

.                            (2)

Это показывает (см. теорему 1 § 4.15), что функция  разлагается на  в сходящийся ряд Тейлора по степеням  (ряд Маклорена):

.                                                      (3)

Но  - произвольное число, поэтому это равенство имеет место на всей действительной оси . В данном случае  на отрезке , и чтобы получить равенство (3), можно было бы воспользоваться теоремой 2  § 4.15.

Вычислим число  с точностью до 0,001. Имеем (см. (1))

                                                    (4)

где

.                                  (5)

Надо подобрать  настолько большим, чтобы

.

Так как , то для этого достаточно решить неравенство . Оно выполняется при . Следовательно,

с точностью до 0,001.

П р и м е ч а н и е . Так как  при , то при , где . Поэтому равенство (4) можно записать в следующем виде:

.

Эта формула была использована (в § 2.6, формула (3)) для доказательства иррациональности числа .

2. . Данная функция имеет производную любого порядка и

.

Поэтому по теореме 2 § 4.15 функция  разлагается в сходящийся к ней на  ряд Тейлора по степеням :

.

Надо учесть, что

Формула Тейлора функции  по степеням  имеет вид

,       (6)

где

.

Отсюда следует, что

и

.

 

3. . Совершенно аналогично можно получить, что

.

П р и м е р   1. Найти .

Имеем

,                                           (7)

поэтому

,

т. е.

.

На самом деле в (7) остаток имеет вид . Но для наших целей достаточно . Надо иметь в виду, что если некоторая функция от  есть , то она есть также  (но вообще не наоборот!).

4. Функция  определена и сколько угодно раз дифференцируема для . Поэтому для нее формулу Тейлора можно написать для любого  при . Так как

,

то формула Тейлора имеет вид

.

Используя формы Лагранжа и Коши остаточного члена, можно показать, что

.

В самом деле, используя форму Лагранжа остаточного члена, имеем для :

;

используя форму Коши остаточного члена (см. § 4.14, (10)), имеем для :

.

Поэтому функция  разлагается в указанном промежутке в ряд Тейлора по степеням :

.

5. Функция . Для этой функции

,

.

Формула Тейлора по степеням  имеет вид

.

Можно доказать, что при любом

.

Поэтому для любого действительного  имеет место разложение функции  в ряд Тейлора по степеням

.    (8)

Если  натуральное, то функция  есть многочлен. В этом случае  для , и ряд справа в (8) представляет собой конечную сумму – многочлен Тейлора           (см. § 4.14).

При   исследование поведения остаточного члена (в форме Коши или Лагранжа) требует больших усилий. Отметим лишь, что при  ряд Тейлора (8) сходится при , а при  для .

Приведем частные случаи ряда (8) при ; :

- обыкновенная геометрическая прогрессия, расходящаяся при ;

:

здесь ряд справа сходится при .

П р и м е р   2. Вычислить предел

П р и м е р   3.

.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>