§ 4.15. Ряд Тейлора

Выражение

                                                         (1)

или  еще

                                                                 (1’)

где  - числа, зависящие от индекса , называется рядом. Конечные суммы

называются частичными суммами ряда (1) (или (1’)). Если существует конечный предел

,                                                         (2)

то говорят, что ряд (1) сходится к числу , и называют  суммой ряда. При этом пишут

.

Если предел частичных сумм  (при ) ряда (1) не существует или равен , то ряд (1) называется расходящимся.

Пусть теперь функция  имеет производные любого порядка в окрестности точки . Для такой функции можно составить ряд следующего вида:

     (3)

или короче

.                                             (3’)

Для каждого отдельного значения  этот ряд может сходиться или расходиться. Множество точек , для которых ряд (3) сходится, называется областью сходимости этого ряда. Независимо от того, сходится или расходится этот ряд, он называется рядом Тейлора функции  по степеням . Если , то соответствующий ряд называют иногда рядом Маклорена.

Особый интерес представляет тот случай, когда ряд Тейлора функции  по степеням  сходится в некоторой окрестности точки  и притом к самой функции . Если это имеет место, то

,

т. е. функция  есть сумма ее ряда Тейлора в некоторой окрестности точки , иначе говоря, для любого значения . В этом случае говорят, что функция  разлагается в ряд Тейлора по степеням , сходящийся к ней.

Т е о р е м а   1. Если функция  имеет на отрезке  производные любого порядка и остаток ее формулы Тейлора стремится к нулю при

                 (4)

на этом отрезке, то  разлагается в сходящийся к ней ряд Тейлора на этом отрезке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция  имеет на отрезке  производные любого порядка. Тогда эти производные непрерывны на , потому что, если  имеет производную  на , то производная  непрерывна на .

Поэтому для нашей функции имеет смысл формула Тейлора

.

Тогда в силу (4)

,

т. е. в этом случае многочлен Тейлора функции  (по степеням ) стремится при  к самой функции:

.    (5)

А это означает, что ряд Тейлора функции  сходится на  и имеет своей суммой :

.

Теорема доказана.

Следующая теорема дает простой достаточный критерий сходимости остатка формулы Тейлора к нулю.

Т е о р е м а   2. Если функция  имеет на отрезке  производные любого порядка, ограниченные одним и тем же числом , , то остаток ее формулы Тейлора на этом отрезке стремится при  к нулю:

.                                                           (6)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Воспользовавшись формулой Лагранжа остаточного члена, получим

,          (7)

.

Так как правая часть (7) стремится к нулю при   (см. § 2.5 (5)) , то имеет место (6).