§ 4.14. Формула Тейлора

Рассмотрим произвольный многочлен степени :

,

где, таким образом, - постоянные числа – коэффициенты многочлена. Пусть  - любое фиксированное число. Полагая , получим

,                                       (1)

откуда, возводя в степени квадратные скобки и приводя подобные по степеням , получим выражение для  в следующей форме:

,          (2)

называемое разложением многочлена  по степеням . Здесь  - числа, зависящие от  и  - коэффициенты разложения  по степеням . Например, . Из  (1) очевидно, что  на самом деле от  не зависит.

Найдем последовательные производные :

,      (3)

Производные порядка выше  равны нулю. Полагая в формулах (2) и (3) , получаем

,

,

или

,                            (4)

где мы считаем .

Формулы (4) показывают, что многочлен  степени  можно разложить по степеням  единственным образом, т. е. если для всех значений  верно равенство

,

где  и  - постоянные, то . Ведь как числа , так и  вычисляются по одной и той же формуле (4).

В силу (4) формулу (2) можно переписать так:

. ()

Формула  называется формулой Тейлора для многочлена  по степеням . Отметим, что правая часть  фактически не зависит от .

П р и м е р   1. Пусть  и . Тогда в силу

,

где в данном случае

,

,

и мы получили известную формулу бинома Ньютона.

.                          (5)

Рассмотрим теперь любую функцию , которая имеет непрерывные производные всех порядков до -го в некоторой  окрестности точки . Мы можем формально составить многочлен

,                                        (6)

который называется многочленом Тейлора -й степени или -м многочленом Тейлора функции по степеням .

Многочлен  совпадает с функцией  в точке , но для всех  он не равен  (если  не является многочленом степени ). Кроме того,

.      (7)

Положим

.                                                  (8)

Формула (8) носит название формулы Тейлора для функции ;  называется остаточным членом формулы Тейлора, - подробнее -м остаточным членом формулы Тейлора функции  по степеням . Функция  показывает, какую погрешность мы допускаем при замене  на многочлен Тейлора (6).

Найдем выражение для  через производную .

В силу (7) и (8) . Положим . Ясно, что . Применяя теорему Коши к функциям  и , будем иметь

.

Но .

Следовательно,

,                                       (9)

где  - некоторая точка, лежащая между  и . Таким образом, формулу (8) можно записать в виде

.    ()

Формула  называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Мы доказали важную теорему.

Т е о р е м а   1. Если функция  имеет в окрестности точки непрерывную производную , то для любого  из этой окрестности найдется точка  такая, что  можно записать по формуле .

Здесь  зависит от  и .

Если точка , то формулу (8) называют формулой Маклорена.

Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора. Так, большое значение имеет форма Коши.

,         (10)

где   зависит от  и . Вывод этой формулы будет дан в § 6.5.

Уменьшая окрестность точки ,  получим, что производная  есть непрерывная функция от  на замкнутом отрезке . Но тогда она ограничена на этом отрезке:

                        (11)

(см. § 3.5, теорема 1). Здесь  - положительное число, не зависящее от указанных , но, вообще говоря, зависящее от . Тогда

.    (12)

Неравенство (12) можно использовать в двух целях: для того чтобы исследовать поведение  при фиксированном  в окрестности точки  и для того, чтобы исследовать поведение  при .

Из (12), например, следует, что при фиксированном  имеет место свойство

,                                         (13)

показывающее, что если  разделить на , то полученное частное будет продолжать стремиться к нулю при .

В силу (13) из  следует:

.              (14)

Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в смысле Пеано.

Она приспособлена для изучения функции  в окрестности точки .

Т е о р е м а   2 (е д и н с т в е н н о с т и). Пусть одна и та же функция  из различных соображений оказалась представленной в окрестности точки  в виде

       (15)

Тогда

.                                  (16)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если приравнять правые части (15) и перейти к пределу при , то получим . Теперь в этом равенстве можно сократить на  и опять перейти к пределу при . Тогда получим . И так продолжаем до тех пор, пока получим .

П р и м е р   2. Мы знаем, что

.

Поэтому

.                  (17)

С другой стороны, функция  имеет в окрестности точки  производные любого порядка, поэтому для нее имеет место формула Тейлора с остатком в форме Пеано

.                        (18)

Сопоставляя формулы (17) и (18), на основании теоремы единственности получим

.                     (19)

Поведению остаточного члена формулы Тейлора при  посвящен следующий параграф.