§ 4.13. Раскрытие неопределенностейБудем говорить, что отношение Т е о р е м а 1. Пусть
Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать, что
Когда
при условии, что предел в правой части равенства существует. Этим теорема доказана. З а м е ч а н и е 1. Если предел справа в (1) не существует, то предел слева может существовать. П р и м е р 1. Так как
Однако не существует. З а м е ч а н и е 2. Если выражение
При этом эти равенства надо понимать в том смысле, что если существует третий предел, то существует и второй и первый. Т е о р е м а 2
и
Доказательство этой теоремы мы не приводим. З а м е ч а н и е 3. Если
Выражаемые теоремами 1, 2 правила, в силу которых вычисление предела отношения функций может быть сведено к вычислению предела отношения их производных, называют правилами Лопиталя, по имени математика, который сформулировал это правило, правда, для весьма простых случаев. Впрочем, это правило было известно И. Бернулли до Лопиталя. П р и м е р 2.
Здесь мы имеем неопределенность вида
П р и м е р 3.
Функции
Кроме рассмотренных неопределенностей, встречаются неопределенности вида а. Неопределенность
П р и м е р 4.
б. Неопределенности вида Если
то
в. Неопределенность
|