§ 4.13. Раскрытие неопределенностей

Будем говорить, что отношение  представляет собой неопределенность вида  при , если . Раскрыть эту неопределенность – это значит найти , если он существует.

Т е о р е м а   1. Пусть  и  определены и дифференцируемы в окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , ,  и  в этой окрестности. Тогда, если существует , то существует  и имеет место равенство

                                        (1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать, что  - конечное число. (В случае  см. ниже замечание 3.) Доопределим функции  и  в точке , полагая . Тогда эти функции будут непрерывны в точке . Рассмотрим отрезок , где  или  (см. замечание 5 § 4.12). На  функции  и  непрерывны, а на  дифференцируемы, поэтому по теореме Коши существует точка  такая, что

  или  .

Когда , то и , поэтому в силу условия теоремы мы имеем

                                       (2)

при условии, что предел в правой части равенства существует.

Этим теорема доказана.

З а м е ч а н и е   1. Если предел справа в (1) не существует, то предел слева может существовать.

П р и м е р   1. Так как , то

.

Однако

не существует.

З а м е ч а н и е   2. Если выражение  представляет неопределенность вида  и функции ,  удовлетворяют условию теоремы 1, то

.

При этом эти равенства надо понимать в том смысле, что если существует третий предел, то существует и второй и первый.

Т е о р е м а   2 . Пусть  и  определены и дифференцируемы в окрестности точки , ,  и  в этой окрестности, тогда, если

,  то 

и

.

Доказательство этой теоремы мы не приводим.

З а м е ч а н и е   3. Если , то замена  сводит дело к :

.

Выражаемые теоремами 1, 2 правила, в силу которых вычисление предела отношения  функций может быть сведено к вычислению предела отношения их производных, называют правилами Лопиталя, по имени математика, который сформулировал это правило, правда, для весьма простых случаев. Впрочем, это правило было известно И. Бернулли до Лопиталя.

П р и м е р    2.

.

Здесь мы имеем неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя  раз (, при  натуральном ), получим

.

П р и м е р   3.

.

Функции  и  удовлетворяют всем условиям теоремы 2, поэтому

.

Кроме рассмотренных неопределенностей, встречаются неопределенности вида , , определение которых очевидно. Эти неопределенности сводятся к неопределенностям  или  алгебраическими преобразованиями.

а. Неопределенность . Ясно, что

  или  .

П р и м е р   4.

;

.

б. Неопределенности вида  для выражения  сводятся к неопределенности . Согласно определению этой функции .

Если

,

то

.

в. Неопределенность . Легко видеть, что

.