§ 4.12. Теоремы о среднем значении

По определению функция достигает в точке локального максимума (минимума), если существует окрестность этой точки , на которой выполняется неравенство

(1)

(соответственно ) (1’)

Локальный максимум или минимум называется локальным экстремумом. Точка называется точкой локального экстремума.

З а м е ч а н и е 1. Если функция непрерывна на отрезке и достигает на нем максимума (минимума) в точке , то, очевидно, является в то же время точкой локального максимума (минимума) . Другое дело, если максимум (минимум) на достигается одной из концевых точек отрезка. Такая точка не является точкой локального максимума (минимума) , потому что не определена в полной ее окрестности (справа от нее и слева).

На рис. 49 изображен график функции , непрерывной на . Точки и - это точки локального минимума , а , - точки локального максимума . Конечно, можно сказать, что есть точка локального одностороннего максимума , а - локального одностороннего минимума . Но не есть точка локального минимума, а не есть точка локального максимума.

Рис. 49

Т е о р е м а 1 (Ферма). Если функция имеет производную в точке и достигает в этой точке локального экстремума, то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности будем считать, что имеет в точке локальный максимум. По определению производной имеем

Так как у нас , то для достаточно малых

откуда в пределе при

. (2)

Если же , то

поэтому, переходя к пределу при в этом неравенстве, получаем, что

. (3)

Из соотношений (2) и (3) вытекает, что .

Т е о р е м а 2 (Р о л л я).

Если функция непрерывна на , дифференцируема на и , то существует точка , такая, что .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если постоянна на , то для всех производная .

Будем теперь считать, что непостоянна на . Так как непрерывна на , то существует точка , в которой достигает максимума на (см. § 3.5, теорема 2), и существует точка , в которой достигает минимума на . Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка , потому что иначе

и была бы постоянной на . Следовательно, одна из точек , принадлежит к интервалу . Обозначим ее через . В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, существует, потому что по условию существует для всех . Поэтому по теореме Ферма .

З а м е ч а н и е 2. Теорема Ролля сохраняет силу также для интервала , лишь бы выполнялось соотношение

З а м е ч а н и е 3. Теорема Ролля теряет силу, если хотя бы в одной точке не существует. Пример: на . В теореме также нельзя заменить непрерывность на на непрерывность на . Примером является функция

Точка - точка разрыва.

З а м е ч а н и е 4. Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике (рис. 50) функции существует точка , касательная в которой параллельна оси .

Рис. 50

Т е о р е м а 3 (Коши). Если функции и непрерывны на и дифференцируемы на , и в , то существует точка такая, что

. (4)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Отметим, что , так как в противном случае, по теореме Ролля, нашлась бы точка такая, что , чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию

В силу условия теоремы эта функция непрерывна на , дифференцируема на и . Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка , в которой . Но

поэтому, подставляя вместо точку , получаем утверждение теоремы.

З а м е ч а н и е 5. В формуле (4) Коши, как нетрудно видеть, не обязательно считать . Но тогда и обозначают соответственно множества точек , для которых , .

Как следствие из теоремы Коши, при получим теорему Лагранжа.

Т е о р е м а 4 (о среднем Лагранжа). Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет производную на интервале . Тогда существует на интервале точка , для которой выполняется равенство

. (5)

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в виде

Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси хорды, стягивающей точки и графика функции , а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой промежуточной точке с абсциссой . Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая (рис. 51) есть график непрерывной на функции, имеющей производную на , то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой и .

Рис. 51

Равенство (5) называется формулой (Лагранжа) конечных приращений. Промежуточное значение удобно записывать в виде

где есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам . Тогда формула Лагранжа примет вид

. (6)

Она верна, очевидно, не только для , но и для .

Т е о р е м а 5. Функция, непрерывная на отрезке , где , и имеющая неотрицательную (положительную) производную на интервале , не убывает (строго возрастает) на .

Действительно, пусть , тогда на отрезке выполняются условия теоремы Лагранжа. Поэтому найдется на интервале точка , для которой

Если по условию на , то и

; (7)

если же на , то и

. (8)

Так как неравенства (7) и (8) имеют место, каковы бы ни были , где , то в первом случае не убывает, а во втором строго возрастает на отрезке .

П р и м е р 1. Возвратимся к примеру 1 § 4.7, где надо было оценить величину . Применим формулу Лагранжа к функции . Имеем

В примере 1 § 4.7 мы получили такой же результат, но сейчас он получил полное обоснование.

П р и м е р 2. Функция имеет непрерывную производную

и обладает свойствами

Следовательно, она строго возрастает и непрерывно дифференцируема на и отображает интервал на . Поэтому она имеет обратную однозначную непрерывно дифференцируемую функцию, обозначаемую так: , .

Т е о р е м а 6. Если функция имеет на интервале производную, равную нулю, то она постоянна на .

В самом деле, на основании теоремы Лагранжа имеет место равенство

где - фиксированная точка интервала , - произвольная его точка (она может находиться справа и слева от ) и - некоторая, зависящая от и точка, находящаяся между и . Так как по условию на , то и для всех .

Заметим, что в приведенных теоремах ослабление налагаемых в них условий может привести к неверности утверждений (см. замечания 1, 2 к теореме Ролля).

О п р е д е л е н и е. Будем говорить, что функция возрастает (убывает) в точке , если существует число такое, что

при .

Очевидно, что если функция возрастает (убывает) на , то она возрастает (убывает) в каждой точке .

Т е о р е м а 7. Если (), то функция возрастает (убывает) в точке .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как , то, задав , можно найти такое , что при . Пусть . Взяв , получаем при , т. е. функция возрастает в точке .

З а м е ч а н и е 6. Если функция имеет производную и не убывает на , то на этом интервале. При сказанных условиях невозможно, чтобы в какой-либо точке производная от была отрицательной – это бы противоречило теореме 7.

Если имеет производную и строго возрастает на и если у нас других сведений об нет, то все равно придется заключить, что на , потому что строго возрастающая функция в отдельных точках может иметь производную, равную нулю. Такой например, является функция , строго возрастающая на и имеющая при производную, равную нулю.

З а м е ч а н и е 7. Если функция возрастает в точке , то она обязательно возрастает в некоторой окрестности точки .

Примером может служить функция

Очевидно, что

и возрастает в точке . Однако эта функция немонотонна, так как производная в любой малой окрестности нуля принимает как положительные, так и отрицательные значения (см. теорему 5). Для при четном она равна , а при нечетном она равна .

Т е о р е м а 8. Если функция четная (нечетная) и дифференцируема на , то нечетная (четная) функция.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как , то производные левой и правой части тоже совпадают: , т. е. - нечетная функция. (Этот же факт можно доказать, исходя из определения производной.)