§ 5.4. Теория многочлена n-й степени

Многочленом -й степени называется функция вида

,                 (1)

где  - постоянные коэффициенты действительные или комплексные, а  - переменная, вообще говоря, комплексная, которая может принимать любые комплексные значения  или, выражаясь геометрическим языком,  может быть любой точкой комплексной плоскости.

Каждой точке  комплексной плоскости при помощи формулы (1) приводится число , вообще говоря, комплексное. В дальнейшем будем считать, что . Если , то число  называется корнем или нулем многочлена .

Рассуждая в точности так же, как в начале § 4.14, где рассматривался многочлен от действительного переменного, можно показать, что, каково бы ни было комплексное число , многочлен  разлагается по степеням  и притом единственным образом, т. е. представляется в виде

,

где  - постоянные числа, вообще говоря, комплексные. Очевидно, . Отсюда следует, что для того, чтобы точка  была корнем многочлена , необходимо и достаточно, чтобы нулевой коэффициент  разложения  по степеням  был равен нулю . Но если , то  можно представить в виде

,                            (2)

где  есть некоторый многочлен степени . Наоборот, если  можно представить в виде (2), иначе говоря, если  можно разделить на  без остатка, то, очевидно,  есть корень .

Мы доказали теорему Безу:

Для того чтобы многочлен  имел (комплексный) корень , необходимо и достаточно, чтобы он делился на , т. е. чтобы его можно было представить в виде произведения (2), где  - некоторый многочлен степени .

Пусть  есть корень , и, таким образом, имеет место представление (2). Если при этом ,  то на основании теоремы Безу, примененной к , многочлен  не делится на , а ,  хотя и делится на , но не делится на .  В этом случае говорят, что  есть простой корень (нуль) многочлена . Пусть теперь , тогда по теореме Безу, примененной к , многочлен  делится на , и мы получим равенство , где  есть некоторый многочлен степени . Если , то  делится на , но не делится на , и тогда число  называется корнем (нулем) кратности 2. В общем случае для некоторого натурального  имеет место

,

где  - многочлен степени , и тогда говорят, что  есть корень (нуль) многочлена  кратности .

Справедлива теорема существования комплексного корня у многочлена.

О с н о в н а я   т е о р е м а. Всякий многочлен -й степени имеет, по крайней мере, один комплексный корень (нуль).

Мы не даем здесь доказательства этой теоремы.

Из нее вытекает важное следствие.

С л е д с т в и е. Многочлен -й степени  со старшим не равным нулю коэффициентом  имеет  комплексных корней с учетом кратности, иначе говоря,  представляется в виде произведения

,    (3)

,

где  - различные корни  кратностей, соответственно .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно основной теореме, многочлен  имеет по крайне мере один корень. Обозначим его через , а его кратность – через . Таким образом,

.

Если , т. е. , то необходимо  , и теорема доказана. В этом случае .

Если же , то  есть многочлен степени , не делящийся на , и его старший коэффициент не равен нулю. К нему можно применить основную теорему, в силу которой он имеет комплексный корень. Обозначим его через , а его кратность – через . В результате получим

.

Если , то . Если нет, то процесс можно продолжить. Однако этот процесс после конечного числа (не большего ) этапов закончится, и мы получим формулу (3). Если в правую часть (3) подставить вместо  число, отличное от , то она не обратится в нуль. Это показывает, что других корней, кроме найденных, многочлен  не имеет и представление (3) единственно.