§ 5.6. Интегрирование рациональных выражений

Отношение  двух алгебраических многочленов

,                                            (1)

,

,

, называется рациональной функцией и еще рациональной дробью.

Будем считать, что рациональная дробь  действительная, т. е.  и  - действительные многочлены. Кроме того, будем считать, что  - действительная переменная.

Рациональные функции вида

   (2)

где , , ,  - действительные числа, - натуральное число, а трехчлен  не имеет действительных корней, будем называть простейшими дробями.

В § 5.2. мы показали, как вычисляются интегралы от простейших дробей (см. (4), (5), (6), (7), (11), § 5.2).

Пусть надо найти неопределенный интеграл от рациональной функции  (см. (1)). Если , то простым делением выделяем из  целую часть:

.

Интегрирование многочлена не представляет труда, и трудность свелась к интегрированию рациональной дроби, у которой степень числителя меньше степени знаменателя.

Будем поэтому считать, что наша рациональная дробь  правильная, т. е. степень ее числителя меньше степени знаменателя .

Т е о р е м а  2. Пусть знаменатель правильной действительной рациональной дроби разложен по формуле (5’) § 5.5:

.

Тогда дробь (1) можно представить, и притом единственным образом, в виде следующей суммы простейших дробей:

   (3)

где , ,  (с соответствующими индексами) – постоянные числа.

Эта теорема утверждает, что для любой правильной рациональной действительной дроби существуют постоянные числа , ,  с указанными индексами так, что имеет место тождество (3) для всех , исключая значения , для которых обе части (3) не определены. Эту теорему можно аккуратно доказать, но мы здесь ее доказывать не будем.

Поясним формулировку теоремы 1 на примере. Согласно теореме 1 имеет место равенство

,      (4)

где , , ,  - вполне определенные постоянные числа. Чтобы найти их, приводим (4) к общему знаменателю и приравниваем числители левой и правой частей:

.                           (5)

Раскрывая скобки в правой части (5), группируем члены с одинаковыми степенями  и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях  обеих частей (см. § 4.14,  теорема 2);

                               (6)

Мы получили четыре линейных уравнения с четырьмя неизвестными , , , . Эта система по теореме 1 имеет решение и притом единственное. Решая систему (6) получим , , , и потому

.     (7)

В общем случае, если мы нашли коэффициенты  в (3), для интегрирования дроби  у нас все готово: неопределенный интеграл от левой части (3) равен сумме неопределенных интегралов от всех членов правой плюс некоторая постоянная . Выше уже было отмечено, что интегралы от любого из членов (3) мы умеем вычислять.

В случае примера (7)

.

З а м е ч а н и е  1. Равенство (5) верно для любого .  Но оно тогда верно и при , потому что слева и справа в (5) стоят непрерывные функции от .  Подставив в (5) , получим , т. е.  и, положив , получим , т. е. . Эти данные  сильно упрощают систему (6). На практике подобными соображениями не надо пренебрегать.

З а м е ч а н и е  2. Принципиально всякая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях. Практически полное интегрирование (1) можно довести до конца в случае, если известны все корни  и их кратности. Но мы уже говорили в § 5.5, что это не всегда удается узнать. В связи с этим всякого рода упрощения интеграла от рациональной дроби (1) являются очень ценными.

С этой точки зрения заслуживает большого внимания метод Остроградского, обычно излагаемый в более полных учебниках.