§ 5.7. Интегрирование иррациональных функций

Рассмотрим случаи, когда заменой переменной можно свести интегрирование нерациональных функций к интегрированию рациональных функций (т. е., как говорят, рационализировать интеграл).

Пусть  - рациональная функция своих аргументов  и , т. е. над   и  совершаются только арифметические операции, чтобы получить . Например,

 - рациональная функция, а

 - не является рациональной.

I. В ы ч и с л и т ь , где  - постоянные числа, -натуральное число, ,  - рациональная функция.

Функцию вида  называют дробно-линейной иррациональностью.

Покажем, что замена  рационализирует интеграл. В самом деле, , откуда  - рациональная функция от . Далее,

.

Поэтому

,

где  - рациональная функция по , интегрировать которую мы умеем.

П р и м е р  1. Вычислить  . Здесь . Полагая , получим , ,  . Таким образом,

.

П р и м е р   2.

.

II. Вычислить , где  - постоянные числа. Функцию  будем называть квадратичной иррациональностью.

Если трехчлен  имеет действительные корни , , то    и

и дело сводится к случаю 1.

Поэтому будем считать, что  не имеет действительных корней и . Тогда рационализация интеграла может быть достигнута с помощью подстановки Эйлера:

.

Отсюда , т. е.  - рациональная функция от . Но тогда

- также рациональная функция от . Поэтому

.

З а м е ч а н и е. Если , а  , то можно сделать замену

.

П р и м е р  3. Вычислить . Бином  не имеет действительных корней. Поэтому полагаем

и

.

Отсюда

.

В силу этого

.

III. И н т е г р и р о в а н и е    в ы р а ж е н и й    . Рационализация  достигается с помощью подстановки , которая называется универсальной. В самом деле

,

,

поэтому

.

Если функция  обладает свойствами четности или нечетности по переменным  или , то могут употребляться и другие подстановки, также рационализирующие интеграл.

Пусть

,

где  и  - многочлены от  и .

1) Если один из многочленов ,  четный по , а другой – нечетный по , то подстановка  рационализирует интеграл.

2) Если один из многочленов  ,  четный по , а другой – нечетный по , то подстановка  рационализирует интеграл.

3) Если  и : а) оба не изменяются при замене  соответственно на  или б) оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой  (или ).

П р и м е р ы:

.  .

. .

В данном случае , т. е. числитель нечетный относительно , а знаменатель четный по , и мы имеем дело со случаем .

  .

Здесь числитель , а знаменатель . Оба не меняются при замене  соответственно на , т. е. мы имеем дело со случаем .