Глава 6. Определенный Интеграл

§ 6.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, и его определение

а) Зададим на отрезке  ( и  - конечные числа) неотрицательную непрерывную функцию . График ее изображен на рис. 75. Поставим задачу: требуется определить понятие площади фигуры, ограниченной кривой , осью , прямыми  и , и вычислить эту площадь. Поставленную задачу естественно решить так.

Произведем разбиение отрезка  на  частей точками

,                                            (1)

Рис. 75

выберем на каждом из полученных частичных отрезков

                   (2)

по произвольной точке , определим значения функции  в этих точках и составим сумму

          (3)

которую называют интегральной суммой и которая, очевидно, равна сумме площадей заштрихованных прямоугольников (см. рис. 75).

Будем теперь стремить все  к нулю и притом так, чтобы максимальный (самый большой) частичный отрезок разбиения стремился к нулю. Если при этом величина  стремится к определенному пределу , не зависящему от способов разбиения (1) и выбора точек  на частичных отрезках, то естественно величину   называть площадью нашей криволинейной фигуры. Таким образом,             

                               (4)

Итак, мы дали определение площади нашей криволинейной фигуры (трапеции). Возникает вопрос, имеет ли каждая такая фигура площадь, иначе говоря, стремится ли на самом деле к конечному пределу ее интегральная сумма , когда ? В дальнейшем будет доказано, что этот вопрос решается положительно: каждая определенная выше криволинейная фигура, соответствующая некоторой непрерывной функции , действительно имеет площадь в смысле сделанного определения, таким образом, зависящим от этой фигуры числом .

Другой возникающий здесь вопрос, насколько естественно данное определение площади, как всегда в таких случаях, решается практикой. Мы скажем только, что практика полностью оправдала это определение. У нас будет много случаев убедиться в правильности сделанного определения.

б) Дан линейный неоднородный стержень, лежащий на оси  в пределах отрезка . Требуется определить массу этого стержня. Пусть плотность распределения массы вдоль стержня есть некоторая непрерывная функция от : .

Для определения массы стержня разобьем его на  произвольных частей точками . В пределах каждой части  выберем по произвольной точке .

Так как в пределах  функция  изменяется мало, то массу части стержня, соответствующей отрезку , можно считать приближенно равной , где .

Масса же  всего стержня  приближенно равна

.

Точное значение массы, очевидно, получим в пределе, когда наибольший частичный отрезок стремится к нулю, т. е.

                                  (4’)

Обе рассмотренные задачи привели нас к одной и той же математической операции над функциями различного происхождения, заданными на отрезке . Нам встретится много других конкретных задач, решение которых сводится к подобной операции над функцией, заданной на отрезке. Эта операция называется операцией интегрирования функции на отрезке, а ее результат – число – называется определенным интегралом от функции на отрезке.

О п р е д е л е н и е  1. Пусть на отрезке  задана функция . Разделим  на части произвольными точками:

,

и будем говорить, что этим произведено разбиение  отрезка . На каждом частичном отрезке  разбиения выберем точку  и составим сумму

,

называемую интегральной суммой функции , соответствующей разбиению .

Обозначим через

максимальную длину частичных отрезков  разбиения .

Предел (если он существует), к которому стремится интегральная сумма , когда , называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается следующим образом:

.    (5)

Число  называется нижним пределом определенного интеграла, а число  - верхним его пределом.

Определение 1 эквивалентно следующему.

О п р е д е л е н и е  1’. Определенным интегралом от функции  на отрезке  называется число , удовлетворяющее следующему свойству: для всякого  можно найти число  такое, что для любого разбиения  отрезка , у которого , выполняется неравенство

при произвольном выборе точек .

Понятие определенного интеграла так, как мы его определили, было введено для непрерывных функций французским математиком Коши и в общем случае Риманом - для функций не обязательно непрерывных (интегрируемых по Риману). Обычно предел (5)  называют интегралом Римана и функцию, для которой этот предел существует, называют интегрируемой в смысле Римана.

Если функция  непрерывна на , то для нее всегда, как мы узнаем, предел (5) существует.

Говорят также, что непрерывная на отрезке  функция интегрируема  на нем в смысле Коши.

В п.  мы определили (см. рис. 75) площадь плоской фигуры, ограниченную сверху графиком непрерывной функции , снизу осью  и с боков прямыми  и . Мы можем теперь сказать, что площадь этой фигуры равна определенному интегралу от  на отрезке :

.

Мы можем еще сказать, что масса стержня, о котором шла речь в п. , равна определенному интегралу от его линейной плотности  в пределах :

.

Итак, по определению определенным интегралом от функции  на отрезке  называется предел интегральной суммы (5), когда максимальный частичный отрезок разбиения  стремится к нулю.

В этом определении, которое теперь уже не связано с задачей о нахождении площади, функция  не обязательно непрерывна и неотрицательна на . Надо отметить, что это определение не утверждает существование определенного интеграла для всякой функции  , заданной на , т. е. существование предела (5). Оно только говорит, что если этот предел существует для заданной на  функции , то он называется определенным интегралом от  на .

Следует иметь в виду также, что когда говорят, что указанный предел  существует, то подразумевают, что он не зависит от способов разбиения отрезка  на части и выбора на полученных частичных отрезках точек .

Непосредственное вычисление определенного интеграла по формуле (5) связано с трудностями – интегральные суммы сколько-нибудь сложных функций имеют громоздкий вид и зачастую нелегко преобразовать их к виду, удобному для вычисления пределов.

Во всяком случае, на этом пути не удалось создать общих методов. Интересно отметить, что впервые задачу этого рода решил Архимед. При помощи рассуждений, которые отдаленно напоминают современный метод пределов, он вычислил площадь сегмента параболы. В дальнейшем на протяжении веков многие математики решали задачи на вычисление площади фигур и объемов тел. Все же еще в XVII веке постановка таких задач и методы их решения носили сугубо частный характер. Существенный сдвиг в этом вопросе внесли Ньютон и Лейбниц, указавшие общий метод решения таких задач. Они показали, что вычисление определенного интеграла от функции может быть сведено к отысканию ее первообразной.

Как было отмечено выше,  непрерывная на  функция интегрируема на . Это будет доказано в § 6.7 .

Будет также доказано, что монотонная на отрезке  функция интегрируема на нем. Надо учесть, что монотонная функция может иметь разрывы в конечном или даже счетном числе (см. теорему 2 § 3.4).

Рис. 76

На рис. 76 изображен график функции , заданной на отрезке . Эта функция непрерывна на , убывает на  и возрастает на . Следовательно, она интегрируема на каждом из этих отрезков. Но тогда, на основании аддитивных свойств интеграла, о которых речь будет впереди, наша функция интегрируема на всем отрезке  (см. § 6.2, теорема 3).

Таким образом, если отрезок , на котором задана функция , можно разрезать на конечное число частичных отрезков, на каждом из которых она непрерывна  или монотонна, то такая функция интегрируема на .

Ньютон и Лейбниц доказали теорему, связывающую два важных понятия математического анализа – интеграла и производной. Эта теорема выражается соотношением (формулой Ньютона – Лейбница)

.                         (6)

Здесь  есть произвольная непрерывная на  функция, а  - какая-либо ее первообразная на  .

Таким образом, для того чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции  на отрезке , надо узнать ее первообразную функцию  и взять разность  значений этой первообразной на концах отрезка .

Если уже считать известным, что непрерывная на отрезке  функция  интегрируема на нем и что для этой функции существует первообразная , то формулу (6) можно вывести без труда.

Пусть  есть произвольное разбиение

отрезка  на части. Тогда (пояснения ниже)

,       (7)

откуда и следует формула (6).

В четвертом равенстве (7) мы применили теорему Лагранжа о среднем

,

в силу которой  есть некоторая точка интервала . Последнее соотношение следует из того факта, что функция  непрерывна на , следовательно, интегрируема  на , и потому ее любая интегральная сумма и, в частности, полученная нами применением теоремы Лагранжа, стремится при  к определенному интегралу от  на .

Справедлива теорема.

Т е о р е м а  1. Неограниченная на отрезке  функция не интегрируема на этом отрезке.

Таким образом, для того чтобы функция  была интегрируемой на отрезке , необходимо, чтобы она была ограниченной на этом отрезке.

Однако это условие не является достаточным.

П р и м е р. Функция

ограничена: , но не интегрируема на любом отрезке  .

В самом деле, если в ее интегральной сумме за точки  выбрать рациональные числа, то

.

Если же выбрать  иррациональным, то

.

Это показывает, что  не может иметь один и тот же предел при любом выборе , и, следовательно, функция  не интегрируема на .

Д о к а з а т е л ь с т в о   т е о р е м ы   1. Пусть

есть интегральная сумма функции , соответствующая некоторому разбиению : . Если допустить, что функция  не ограничена на , то она необходимо не ограничена на одном из частичных отрезков, пусть на . Зафиксируем  для всех , а  будем пока считать переменной. Слагаемое  не ограничено на , а сумма остальных слагаемых есть определенное число. Но тогда  можно сделать как угодно большим при соответствующем подборе точки  и функция  не может быть интегрируемой на . Ведь из интегрируемой функции  на  следует, что ее интегральные суммы ограничены при любом выборе .

Впрочем, в дальнейшем будет введено понятие несобственного интеграла. Некоторые неограниченные на отрезке функции интегрируемы в несобственном смысле. Но об этом будет речь позднее.