§ 6.2. Свойства определенных интегралов

В этом параграфе мы будем изучать свойства интегрируемых функций. Выше уже отмечалось, что непрерывные и монотонные на отрезке функции интегрируемы на нем. Это будет доказано позднее в § 6.7.

Т е о р е м а 1. Если - константа, то

. (1)

В самом деле, интегральная сумма функции для любого разбиения отрезка равна

Отсюда

Т е о р е м а 2. Для функции

В самом деле, зададим произвольное разбиение отрезка :

Один из отрезков этого разбиения, пусть , содержит в себе точку : . Поэтому интегральная сумма

(остальные слагаемые заведомо равны нулю). Так как , то

при , и теорема доказана.

Т е о р е м а 3. Если функция интегрируема на каждом из отрезков , , то она интегрируема на и

(2)

(аддитивное свойство определенного интеграла).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим произвольное разбиение отрезка

однако такое, что одна из точек , пусть , совпадает с точкой . Тогда индуцирует (наводит) на отрезках и определенные разбиения и :

т. е. . Пусть

Тогда и подавно и . Следовательно,

Это равенство доказано пока для разбиений , содержащих в себе точку . Но тогда оно верно и для любых разбиений (см. лемму 1 ниже). Следовательно, интеграл существует и имеет место (2).

По определению

, (3)

, (4)

где интегрируема на .

Нетрудно видеть, если учесть соглашения (3), (4), что равенство (2) верно для любых чисел , лишь бы была интегрируема на максимальном из отрезков , , .

Например, в случае, если , на основании теоремы 3

или

и мы получили (2).

Т е о р е м а 4. Если функции и интегрируемы на и , - произвольные числа, то

. (5)

В частности, при получим равенство

, (6)

показывающее, что постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

При , получим

. (7)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для произвольного разбиения имеем

Отсюда, перейдя к пределу при , получим равенство (5). Оно, очевидно, верно и при .

Т е о р е м а 5. Если интегрируемую на функцию видоизменить в точке , то для полученной после видоизменения функции имеет место равенство

Д о к а з а т е л ь с т в о. Видоизменение функции только в точке сводится к тому, что к прибавляется функция вида

где - некоторое число. Тогда

При этом по теореме 2

Поэтому, в силу теоремы 4

что и требовалось доказать.

З а м е ч а н и е 1. Из теоремы 5 мы видим, что интегрируемость функции не зависит от того, какие значения она принимает в некоторой определенной точке.

Например, функция определена на полуинтервале . Если положить ее равной 1 при , то она будет непрерывной, следовательно, интегрируемой на отрезке . Но она останется интегрируемой, и ее интеграл будет равен тому же значению, если положить, что , где - любое число.

Т е о р е м а 6. Если функции и интегрируемы на отрезке и удовлетворяют на нем неравенству

то

. (8)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого разбиения

потому, что . Поэтому после перехода к пределу при получим (8).

Т е о р е м а 7. Справедливо неравенство

(9)

или, если не обязательно меньше , то

. (9’)

где и интегрируемы на .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно,

Но тогда, на основании теоремы 6,

или

что и требовалось доказать.

При правые части (9) и (9’) равны между собой. Если же , то в силу (4)

т. е. имеет место (9’).

Наконец, случай сводится к очевидному соотношению . Этим доказано (9).

З а м е ч а н и е 2. Интегрируемость на влечет за собой интегрируемость на (см. ниже § 6.7, замечание 2). Для конкретных функций это всегда очевидно. Например, если функция кусочно-непрерывна на (она, как будет доказано, интегрируема), тогда и кусочно-непрерывна.

Обратно, из интегрируемости , вообще говоря, не следует интегрируемость на .