§ 6.3. Интеграл как функция верхнего предела

Заметим, что

,

т. е. не имеет значения, по какой букве -  или  - интегрировать на отрезке . Ведь в обоих случаях любая интегральная сумма  имеет вид

.

Пусть задана интегрируемая на отрезке  функция . Тогда, каково бы ни было , удовлетворяющее неравенствам , функция  интегрируема также на отрезке .

Это утверждение требует доказательства, но мы не будем его доказывать. В конкретных случаях, как правило, это утверждение очевидно. Например, непрерывная (монотонная) функция на отрезке ,  в свою очередь,  непрерывна (монотонна) на , следовательно, интегрируема на .

Зададим произвольное значение . Нас будет интересовать определенный интеграл от  на отрезке . Это есть некоторая функция от . Обозначим ее  через .

Итак

.                                        (1)

Мы употребляем букву  в качестве переменной интегрирования, чтобы отличить ее от верхнего предела интегрирования .

На рис. 77 изображен график ограниченной кусочно-непрерывной функции  с точкой разрыва . Число  для заданного  выражается на рисунке площадью фигуры . 

Рис. 77

Т е о р е м а 1. Если функция  интегрируема на отрезке , то функция , определенная по формуле (1), непрерывна в любой точке .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим произвольную точку  и придадим ей приращение  (на рис. 77 изображено положительное ). Имеем

.

Мы получили неравенство

,

из которого следует:

,

т. е.  непрерывна в точке .

Подчеркнем, что  может быть точкой непрерывности и точкой разрыва , и все равно функция  непрерывна в этой точке.

Т е о р е м а  2. Если интегрируемая на  функция  непрерывна в точке , то в этой точке существует производная от  (см. (1)):

.                                              (2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  - точка непрерывности . Имеем

.                                           (3)

При получении (3) мы использовали доказанные выше свойства определенного интеграла. В четвертом равенстве мы воспользовались тем фактом, что  не зависит от  и при интегрировании по  надо считать  как постоянный множитель (см. 1. § 6.2).

Докажем, что

.                     (4)

Функция  непрерывна в точке , поэтому для любого  можно указать такое , что если , то

.

Поэтому,  для

,

и мы обосновали свойство (4).

Из (3), переходя к пределу при , на основании (4) получим, что существует производная , равная

.

Этим теорема 2 доказана.

Обратим внимание на то, что в теореме 2  хотя и позволялось функции  быть разрывной на отрезке , но в той точке , в которой утверждалось существование производной от , предполагалось, что функция  непрерывна. Иначе теорема, вообще говоря, была бы неверна.

Теорема 2, в частности, утверждает, что если  непрерывна на отрезке , то  имеет производную на этом отрезке, равную  .

Таким образом, если функция  непрерывна на отрезке , то для нее существует первообразная на этом отрезке. При этом в качестве одной из первообразных можно взять интеграл (1).

Отсюда следует, что неопределенный интеграл от функции , непрерывной на , равен

,

где  - некоторая постоянная.