§ 6.5. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме

Пусть функция  имеет непрерывные производные до порядка  включительно. Тогда в силу формулы Ньютона-Лейбница

.

Продолжая дальше процесс интегрирования по частям, получим

,                  (1)

где

.                  (2)

Формула (1), (2) называется формулой Тейлора с остатком в интегральной форме.

Применяя к интегралу (2) (по !) теорему 3 (о среднем) § 6.4, будем иметь

.

Полагая

,

получаем

,

т. е. остаточный член формулы Тейлора по степеням  в форме Коши (см. § 4.14, (10)).