§ 6.6. Суммы Дарбу. Условия существования интеграла

Пусть на отрезке задана ограниченная функция . Введем разбиение

Пусть

Наряду с интегральными суммами

рассмотрим суммы

которые называют нижней и верхней суммами Дарбу. Очевидно, что .

Суммы Дарбу не обязательно являются интегральными суммами. Однако, если - непрерывная функция, то и являются, соответственно, наименьшей и наибольшей из интегральных сумм, отвечающих данному разбиению, так как по теореме Вейерштрасса достигает минимума и максимума в каждом , и поэтому можно выбрать точки , так, что и .

Так как и , то

. (1)

При фиксированном разбиении и - постоянные числа, а интегральная сумма остается переменной в силу произвольности чисел . Легко видеть, что за счет выбора точек сумму можно сделать как угодно близкой к и , т. е. при данном разбиении и являются точной нижней и точной верхней гранями для интегральных сумм:

Пусть - разбиения . Если же точки принадлежат , то будем писать и говорить, что есть продолжение . Если множество точек, из которых состоит , есть теоретико-множественная сумма множеств точек, из которых состоят и , то будем писать .

Свойства сумм Дарбу:

. Если к имеющимся у разбиения точкам деления добавить новые точки, то верхняя сумма Дарбу не возрастает, а нижняя не убывает:

Таким образом,

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства, очевидно, можно ограничиться случаем, когда добавляется одна новая точка деления . Пусть - верхняя сумма Дарбу для разбиения и - для разбиения . Тогда отличается от тем, что вместо слагаемого в сумме будут два слагаемых:

где

Так как отрезки являются частью , то (при уменьшении области рассмотрения может только уменьшаться). Поэтому

т. е. , что и требовалось доказать.

Для нижних сумм доказательство аналогично.

. Каждая нижняя сумма Дарбу не больше каждой верхней суммы Дарбу, хотя бы отвечающей другому разбиению промежутка: .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Учитывая свойство , получим .

Таким образом, мы доказали, что множество нижних сумм Дарбу ограничено сверху какой-либо верхней суммой , и потому существует точная верхняя грань нижних сумм:

К тому же мы доказали, что всякая верхняя сумма не меньше числа . Это показывает, что существует точная нижняя грань верхних сумм

Итак . При этом для любого разбиения выполняются неравенства

. (2)

Числа называются нижним и верхним интегралами Дарбу.

Т е о р е м а 1 (существование интеграла). Для того, чтобы определенный интеграл ограниченной функции существовал, необходимо и достаточно, чтобы

, (3)

где число называется колебанием функции на .

Д о к а з а т е л ь с т в о. I. Необходимость условия. Допустим, что определенный интеграл функции существует: т. е. такое, что как только , будет , как бы мы ни выбирали точки .