§ 6.9. Несобственные интегралы от неотрицательных функций

Пусть задан интеграл

, (1)

имеющий единственную особенность в точке , и на промежутке интегрирования . Тогда, очевидно, функция

от монотонно не убывает. Поэтому, если она ограничена , то существует интеграл (1)

Если же неограничена, то интеграл (1) расходится:

Если на , то пишут

в зависимости от того будет ли интеграл сходиться или расходиться.

Т е о р е м а 1. Пусть интегралы

, (1)

, (2)

имеют единственную особенность в точке и на промежутке выполняются неравенства

. (3)

Тогда из сходимости интеграла (2) следует сходимость интеграла (1) и имеет место неравенство

а из расходимости интеграла (1) следует расходимость интеграла (2).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (3) следует, что для

. (4)

Если теперь интеграл (2) сходится, то правая часть (4) ограничена числом, равным интегралу (2), но тогда ограничена и левая. И так как левая часть при возрастании монотонно не убывает, то она стремится к пределу (интегралу):

Наоборот, из расходимости интеграла (1) следует, что предел левой части (4) при равен , а следовательно, и предел правой равен .

Т е о р е м а 2. Пусть интегралы (1) и (2) имеют единственную особенность в точке, подынтегральные функции положительны и существует предел

. (5)

Тогда эти интегралы одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (5) следует, что для положительного можно указать такое , что

и так как , то

. (6)

Из сходимости интеграла следует сходимость интеграла и сходимость интеграла , но тогда по предыдущей теореме сходится также интеграл , а вместе с ним интеграл . Обратно, из сходимости следует сходимость потому, что наряду с (5) имеет место равенство

З а м е ч а н и е. Равенство (5) означает, что функция эквивалентна функции при . В этом случае также говорят, что функции и имеют одинаковый порядок при .