§ 6.10. Интегрирование по частям несобственных интегралов

П р и м е р   1. Несобственные интегралы

                   (1)

сходятся. В самом деле, интегрируя по частям, получим

для всех конечных . Переходя теперь к пределу при , получим

,

где интеграл в правой части сходится и даже абсолютно:

.

П р и м е р   2. Интеграл  сходится не абсолютно (условно), ибо интеграл

,                         (2)

т. е. расходящийся.  В самом деле, в силу неравенства  несобственный интеграл

Но интеграл  сходится, а интеграл  расходится. Следовательно, несобственный интеграл (2) расходится.

З а м е ч а н и е. Сходимость интеграла (1) объясняется тем, что функция  периодически колеблется, принимая последовательно положительные и отрицательные значения. Накопление площади, вызываемое положительными значениями , компенсируется соответствующим накоплением, вызываемым отрицательными значениями.

Это явление получит объяснение в теории рядов (см. ряд Лейбница и условно сходящиеся ряды).

Приведенные примеры показывают, что интегрирование по частям может оказаться полезным средством исследования сходимости несобственных интегралов.

Ниже приводятся общие соображения, которые лучше поясняют механизм этого метода.

Пусть функция  непрерывна на  и  - ее первообразная. Пусть,  кроме того,  непрерывно дифференцируемая функция на . Тогда

.                   (3)

Если

1) ,

2) интеграл  сходится, то, очевидно, существует несобственный интеграл

.    (4)

Отсюда, в частности, вытекает

Признак Дирихле  сходимости  интеграла (4). Если функция  ограничена , а  убывает и стремится к нулю при , то интеграл (4) сходится.

Ясно, что эти условия влекут свойство 1). Далее

.

П р и м е р   3. Интеграл

,

имеющий единственную особенность в , сходится при . Это следует из признака Дирихле, где надо считать  и . Абсолютная же его сходимость имеет место только при , что доказывается, как в примере 2 § 6.9.