§ 6.11. Несобственный интеграл с особенностями в нескольких точках

Пусть задан интеграл

,                                             (1)

т. е. пока формальное выражение (рисунок), где под знаком  стоит функция , определенная на интервале . Таким образом,  может быть конечным числом или  и  - конечным числом  или .

Допустим, что интервал  можно разбить на конечное число интервалов точками  так, что каждый интеграл

                  (2)

имеет единственную особенность либо в точке , либо в точке .

Если все несобственные интегралы (2) сходятся (абсолютно сходятся), то интеграл (1) называется несобственным сходящимся (абсолютно сходящимся) и символу (1) приписывается число

.

Но если хотя бы один из интегралов (2) расходится, то интеграл (1) считается расходящимся.

Если , то, так же как в случае интегралов с одной особенностью, для интеграла (1) условимся писать

,

если он сходится и

,

если он расходится.

П р и м е р   1.

.

Этот интеграл имеет две особенности в точке  и . Соответственно мы его представили формально в виде суммы двух интегралов, каждый из которых имеет одну из указанных особенностей. Очевидно,

.

Мы позволили себе считать, что .

П р и м е р   2.

           (3)

В самом деле, этот интеграл имеет две особенности – в  и , поэтому для его исследования рассмотрим формальную сумму

.

Под интегралом  стоит положительная функция, поэтому он либо расходится, либо, если сходится, то абсолютно. Для его исследования нам помогут неравенства (см. § 3.3, (6) и § 4.19, пример 1).

,

откуда

,

.

Следовательно,

                     (4)

Далее (см. § 6.10, пример 2)

        (5)